南通市2013届高三第二次调研测试数学参考答案及评分建议
数 学 I
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷卡的相应位置上． ．．．．．．．．．
uuuruuuruur1. 在平面直角坐标系中，已知向量AB= (2，1)，向量AC= (3，5)，则向量BC的坐标为 ▲ ． 【答案】（1，4）
2. 设集合A?xx2?2x?3≤0，B?xx2?5x≥0，则AI?eRB?? ▲ ． 【答案】?0，3?
3. 设复数z满足| z | = | z－1 | = 1，则复数z的实部为 ▲ ． 【答案】1
2x
6l4. 设f (x)是定义在R上的奇函数，当x < 0时，f (x)＝x + e（e为自然对数的底数），则f?n???? ?的值为 ▲ ．
【答案】ln6?1
65. 某篮球运动员在7天中进行投篮训练的时间（单位：分钟）用茎叶图表示（如图），图中左列表示训练时间的十位数，右列表示训练时间的个位数，则该运动员这7天的平均训练时间为 ▲ 分钟．
【答案】72
6 4 5 7 7 2 5 8 0 1
（第5题）
S←0 For I From 1 to 28 Step 3 S←S +I End For Print S （第6题）
6. 根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为 ▲ ． 【答案】145
7. 在平面直角坐标系xOy中，设椭圆与双曲线y2?3x2?3共焦点，且经过点
为 ▲ ． 【答案】2
28. 若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2 cm的半圆，则该圆锥的高为 ▲ cm． 【答案】3 9. 将函数y?2sinπx的图象上每一点向右平移1个单位，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的
3π倍（纵坐标保持不变），得函数y?f(x)的图象，则f(x)的一个解析式为 ▲ ． 3?2，2，则该椭圆的离心率
?
【答案】y?2sinx?π
310.函数f(x)?(x?1)sinπx?1(?1?x?3)的所有零点之和为 ▲ ． 【答案】 4
tan??1．则cos?的值为 ▲ ． 11. 设?，????，??，且sin(???)?5,1322?? 【答案】?16
6512. 设数列{an}满足：a3?8，?an?1?an?2??2an?1?an??0(n?N*)，则a1的值大于20的概率为 ▲ ． 【答案】14
13.设实数x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1·x2·x3·x4·x5=729，则max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是
▲ ． 【答案】9
14.在平面直角坐标系xOy中，设A(?1，1)，B，C是函数y?1(x?0)图象上的两点，且△ABC为正三角
x形，则△ABC的高为 ▲ ． 【答案】2
二、解答题：本大题共6小题，共90分. 请把答案写在答题卡相应的位置上. 解答时应写出文字说明、证．．．．．．．．．明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）
已知△ABC的内角A的大小为120°，面积为3． （1）若AB?22，求△ABC的另外两条边长；
uuuruuur（2）设O为△ABC的外心，当BC?21时，求AO?BC的值．
【解】（1）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
3bc于是3?1bcsinA?，所以bc=4． ………………………………………3分
24因为c?AB?22，所以b?CA?2．
由余弦定理得BC?a?b2?c2?2bccosA?b2?c2?4?2?8?4?14． ………6分 ?17?0，解得b?1或4．……………8分 （2）由BC?21得b2?c2?4?21，即b2?16b2
uuuruuuruuur设BC的中点为D，则AO?AD?DO， uuuruuur因为O为△ABC的外心，所以DO?BC?0，
uuuruuuruuuruuur1uuuruuuruuuruuur22b?c于是AO?BC?AD?BC?AB?AC?AC?AB?．…………………12分
22uuuruuurb2?c2??15； 所以当b?1时，c?4，AO?BC?22uuuruuur22当b?4时，c?1，AO?BC?b?c?15．……………………………………14分
22????
16.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P?ABCD中，平面PAB?平面ABCD，BC//平面PAD，?PBC?90, ?PBA?90．求证：
P （1）AD//平面PBC；
（2）平面PBC?平面PAB． 【证】（1）因为BC//平面PAD，
而BC?平面ABCD，平面ABCDI平面PAD = AD， B 所以BC//AD． …………………………………3分 因为AD?平面PBC，BC?平面PBC，
所以AD//平面PBC．………………………………………………………6分
（2）自P作PH?AB于H，因为平面PAB?平面ABCD，且平面PABI平面ABCD=AB，
P 所以PH?平面ABCD．………………………………………9分 因为BC?平面ABCD，所以BC?PH． 因为?PBC?90,所以BC?PB，
而?PBA?90，于是点H与B不重合，即PBIPH = H． 因为PB，PH?平面PAB，所以BC?平面PAB．…………12分
因为BC?平面PBC，故平面PBC?平面PAB．…………………………………… 14分
17．（本小题满分14分）
为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用1 600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1 000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中k为常数) ．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元.
H B C A D
C （第16题）
A D
购地费用+所有建筑费用
(每平方米平均综合费用＝)．
所有建筑面积 （1）求k的值；
（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米
的平均综合费用为多少元？
【解】（1）如果每幢楼为5层，那么所有建筑面积为10×1 000×5平方米，所有建筑费用为［(k +800)+(2k +800)+(3 k +800)+(4k+800)+(5k +800)］×1 000×10，所以，………3分
16 000 000+［(k +800)+(2k +800)+(3k +800)+(4k+800)+(5k +800)］×1 000×101 270＝，
10×1 000×5解之得：k＝50．…………………………………………………6分
（2）设小区每幢为n(n∈N*)层时，每平方米平均综合费用为f (n)，由题设可知 16 000 000+［(50 +800)+(100 +800)+…+(50n +800)］×1 000×10
f (n) ＝ 10×1 000×n
1 600
＝+25n+825≥21 600×25+825＝1 225 (元). …………………………10分
n1 600
当且仅当＝25n，即n＝8时等号成立．…………………………………………12分
n
答：该小区每幢建8层时，每平方米平均综合费用最低，此时每平方米平均综合费用为1 225元．
………………………14分
18. （本小题满分16分）
已知函数f (x)＝(m－3)x3 + 9x.
（1）若函数f (x)在区间(－∞，+∞)上是单调函数，求m的取值范围； （2）若函数f (x)在区间［1，2］上的最大值为4，求m的值．
???上只能是单调增函数． ………………3分 【解】（1）因为f?(0)＝9 > 0，所以f (x)在区间???，由f?(x)＝3(m－3)x2 + 9≥0在区间(－∞，+∞)上恒成立，所以m≥3．
故m的取值范围是［3，+∞) ． …………………………………………………6分 （2）当m≥3时，f (x)在［1，2］上是增函数，所以[f (x)] max＝f (2)＝8(m－3)＋18＝4, 5
解得m＝<3，不合题意，舍去． ………………………………………………8分
4当m＜3时，f?(x)＝3(m－3) x2 + 9=0，得x??所以f (x)的单调区间为：??，?3． 3?m?33，3单调减，?单调增，3?m3?m3?m????3，??单调
3?m?
减．……………………………………10分
①当3≥2，即9≤m?3时，[1，3，3?，所以f (x)在区间［1，2］上单调增，2]??3?m43?m3?m???5
[f (x)] max ＝f(2)＝8(m－3)＋18＝4，m＝，不满足题设要求．
4
②当1?③当3?2，即0＜m＜9时，[f (x)]
max?f3?m4?3?0?4舍去．
3?m?3≤1，即m≤0时，则[1，2]?3?m?3，???，所以f (x)在区间［1，2］上单调减，[f (x)] max
?3?m?＝f (1)＝m + 6＝4，m＝－2.
综上所述：m＝－2．………………………………………………………16分
19．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2＝r2和直线l：x＝a（其中r和a均为常数，且0 < r < a）， M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点分别为P、Q．
（1）若r＝2，M点的坐标为(4，2)，求直线PQ方程； （2）求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标． 【解】（1）当r＝2，M(4，2)，则A1(－2，0)，A2(2，0).
?x2?y2?4，直线MA1的方程：x－3y+2=0，解?得P8，6．………………………2分
55?x?3y?2?0?x2?y2?4，直线MA2的方程：x－y－2=0，解?得Q?0，?2?． ……………………4分
x?y?2?0???由两点式，得直线PQ方程为：2x－y－2=0． ………………………………………6分 （2）证法一：由题设得A1(－r，0)，A2(r，0) .设M(a，t)， 直线MA1的方程是：y = 直线MA1的方程是：y =
t
(x+r)， a+r
t
(x－r) ．…………………………8分 a－r
?x2?y2?r2，r(a?r)2?rt22tr(a?r)?P，解?得．……………………10分 2222t(x?r)(a?r)?t(a?r)?ty??a?r????x2?y2?r2，rt2?r(a?r)22tr(a?r)?Q，?解?得． …………………12分 2222t(x?r)(a?r)?t(a?r)?ty??a?r???