G单元 立体几何
目录
G单元 立体几何 ........................................................................................................................... 1 G1 空间几何体的结构 .................................................................................................................. 1 G2 空间几何体的三视图和直观图 .............................................................................................. 2 G3 平面的基本性质、空间两条直线 .......................................................................................... 6 G4 空间中的平行关系 .................................................................................................................. 6 G5 空间中的垂直关系 ................................................................................................................ 16 G6 三垂线定理 ............................................................................................................................ 21 G7 棱柱与棱锥 ............................................................................................................................ 22 G8 多面体与球 ............................................................................................................................ 24 G9 空间向量及运算 .................................................................................................................... 25 G10 空间向量解决线面位置关系 .............................................................................................. 27 G11 空间角与距离的求法 .......................................................................................................... 27 G12 单元综合 .............................................................................................................................. 32
G1 空间几何体的结构
【数学文卷·2015届山西省山大附中高三上学期期中考试（201411）】19．（本小题满分12分）
在如图所示的空间几何体中，平面ACD?平面ABC，?ACD与?ACB是边长为2的等边三角形，BE?2，BE和平面ABC所成的角为60?，且点E在平面ABC上的射影落在?ABC的平分线上．
（Ⅰ）求证：DE//平面ABC；
（Ⅱ）求三棱锥B?ACE的体积
第19题
图
【知识点】线面平行的判定，锥体体积求法 G4 G1 【答案】【解析】（Ⅰ）略（Ⅱ）1
解析：（Ⅰ）由题意知，?ABC，?ACD都是边长为2的等边三角形，取AC中点O，连接BO,DO，则BO?AC，DO?AC，……………………2分
又∵平面ACD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC， 那么EF//DO，根据题意，点F落在BO上，
∴?EBF?60?，易求得EF?DO?3，…………4分
∴四边形DEFO是平行四边形，∴DE//OF，∴DE//平面ABC ……6分 （Ⅱ）VB?ACE?VE?ABC?1 ……………… 12分
【思路点拨】由题意取AC中点O，作EF⊥平面ABC，点F落在BO上， 可求四边形DEFO是平行四边形，可得DE//OF；利用等体积法即可求解.
G2 空间几何体的三视图和直观图
【数学理卷·2015届河北省唐山一中高三12月调研考试（201412）】10．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为( )
A．3? B．4? C．2? D．
5? 2
【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2 【答案】A
【解析】由于正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，所以此四面体一定可以放在正方体中，所以我们可以在正方体中寻找此四面体．如图所示，
四面体ABCD满足题意，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球， 由题意可知，正方体的棱长为1，所以外接球的半径为R=3， 2所以此四面体的外接球表面积S=4×π×(32)=3π． 2【思路点拨】由于正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，所以此四面体一定可以放在棱长为1的正方体中，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，由此能求出此四面体的外接球表面积．
【数学理卷·2015届四川省成都外国语学校高三12月月考（201412）】5．某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为
A．2
B．
1 2C．
2 4 D．
2 2正视图侧视图直观图俯视图（第5题）
【知识点】三视图 椭圆的性质G2 H5
【答案】【解析】D
解析：设正视图中正方形的边长为2b，由三视图可知，俯视图中的矩形一边长为2b，另一边长为圆锥底面直径，即为正视图中的对角线长，计算得22b，所以
ca2?b2b2,则选D. 2a?22b,a?2b,e????aa22b【思路点拨】由三视图解答几何问题，注意三视图与原几何体的长宽高的对应关系，求椭圆
的离心率，抓住其定义寻求a,b,c关系即可解答.
【数学文卷·2015届重庆市巴蜀中学高三12月月考（201412）】7、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A、
B、200
C、 D、240
【知识点】三视图 G2
【答案】【解析】B解析：由三视图可知该几何体为平放的四棱柱，其中以侧视图为底． 底面为等腰梯形，梯形的上底长为2，下底长为8， 梯形的高为4，棱柱的高为10． ∴梯形的面积为
∴棱柱的体积为20×10=200． 故答案为：200．：
【思路点拨】由三视图可知该几何体为四棱柱，然后根据棱柱体积公式计算体积即可．
【数学文卷·2015届江西省五校（江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中）高三上学期第二次联考（201412）】14. . 某空间几何体的三视图如图所示， 则这个空间几何体的表面积是________．
，
【知识点】由三视图求面积、体积． G2
【答案】【解析】4p+4 解析：由三视图可知，该几何体为上部为半径为
1的球，下部为22骣1半径为1，高为2的半个圆柱，几何体的表面积为等于球的表面积：4π×琪琪2桫底面面积为2×
=π，半圆柱的
14p+4．×p=p，半圆柱的侧面积为2×（2+p）=4+2p．几何体的表面积为：
21的球，下部为半径为1，高为2的2故答案为：4p+4．
【思路点拨】由三视图可知，该几何体为上部为半径为半个圆柱，利用相关的面积公式求解即可解答．
【数学文卷·2015届山西省山大附中高三上学期期中考试（201411）】16．已知下图是一个
空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为___________。
2
2 2
2 2
2
正视图 侧视图 俯视图
【知识点】球的体积和表面积；由三视图求面积、体积；球内接多面体 G8 G2 G12
【答案】【解析】6? 解析：几何体为三棱锥，可以将其补形为一个棱长为2的正方体， 该正方体的外接球和几何体的外接球为同一个，故2R?2所以外接球的表面积为：4?R?6?．故答案为：6π．
2?2?2?2?6，
【思路点拨】由题意判断几何体的形状，几何体扩展为正方体，求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．
【数学文卷·2015届四川省成都外国语学校高三12月月考（201412）】5．某几何体是由直