8.6 不可压缩粘性流体在无穷长直圆管内流。由实验知，其璧面传热系数h与圆管的直径D，
热传导系数k,流体的平均速度U，密度?，粘度系数?和流体比热c有关，其中h具有
h/D的量纲。试由量纲分析证明 Nu?f(ReP,r) .hDk式中Nu?普朗特数。
叫做努塞尔特（Nusselt）数，Re??UD?是雷诺数，Pr?c?k是
解：由题意：[h]?f(D,k,U,?,?,c
此式中有n=6个物理量，其中含r?4个基本量纲，按?定理可简化为n?r?2个无量纲间的函数关系。
记质量，长度，时间和温度的基本量纲分别为M,L,T,K写出各量的量纲如下：
?D???h??L，?k???W/(LK)??MLT?k??D??MT???3?1?3K?1，?U??LT。
?1，????ML?3，[?]?ML?1T?1，
K，[c]?L2T2K?1现取D，k，U，?为基本量，将其余各量与这些基本量组合成无量纲量。 例如，设
h??[D][k][U][?]，列出此式两侧的量纲有：
????MT?3K?1?M???T?3???K??L??????3?
?????1????1????3?????3???1显然两侧的幂次应该分别相等：?解得?，
????1??0?????????3??0???0???1即?h??[D][k]，于是Nu?hDk构成一个无量纲量。
同理： [?]?f1(h,D,k,U,?,c)，取D,U,k,?为基本量，将其余各量与这些基本量组合成无量纲量。
设????[D][U][k][?]，列出此式两侧的量纲有：
????ML?3?M???L??????3?T?3??rK??
?????1???0?????????3???3???0两侧的幂次应该分别相等：?解得?，
?3????0??0??????0???1??8.8截面为半圆形的无限长直管中的不可压缩流体做层流运动，沿管轴方向某一长度l上的压降为?p。由实验知
?pl与l无关，且不沿管轴位置而变，只与管中的平均速度U,管的半
径a和流体粘度系数?有关。试由量纲分析理论推出通过管的体积流量Q如何随a,?,?p 和 l变化。
?f1(U,?,a )
l此式有n?4个物理量，且有r?3个基本量纲，
解： 以题有：
?p据?定理可化为n?r?1个无量纲关系，
记质量、长度、时间基本量纲分别为M、L、T。 有
??p??2?2?1?1?MLT, ??MLT, ?U??LT???l????1, ?a??L
取
?pl,?,a 为基本量
?????p?令?U???l???????a???r?2?2??ML?1T?1???MLT?????L?r
?2?2??ML?1T?1?即LT?1??MLT??????L?r
解得??1, ???1, r?2
??p??12即?U???????l??故
U?pa2?a?
构成无量纲量。
?l
8.11 图中两个无穷大的平行板之间有两层厚度都是h的互不混合的均质不可压缩流体，粘度系数为?1和?2。下板不动，上板沿板面向右以匀速U滑动，试求两层流体中的速度分布以及上、下板面所受剪应力的大小和方向。设上、下游远处压强相等，不计体力，试用图标画出你所用的坐标系。
解：对于该流动，N-S方程组在直角坐标系下的
分量形式是： 连续
????0，
U?u?x??v?y1?0
h?1?2动量方程：
D?Dt?Fb?1??p?????2?S? ，
hu?u?x?v?u?y??1?p??x??(?u?x22??u?y22)
8.11 题图
u?v?x?v?v?y??1?p??y??(?v?x22??v?y22)
（1） 对于y?0以下的下层液体来说，边界条件是：
y??h:u?0,v?0,y?0:u?u,v?0.*（2）
由于x方向是无穷长，没有特征长度，所以
?u?x?0，于是上述第一个方程有
?v?y?0，
结合边界条件知v?0，于是由第三个方程知
?p?y?0，于是流动的特点是
u?u(y),v?o,p?p(x).
由此知第二个方程变为线性的：?2dudx22??p?x?p?x
又有已知条件上、下游远处压强相等，所以
dudx22?0
故有?2?0
它在满足所给u的边界条件时有如下解：u2?u*h(y?h)
（2）对于y?0以上的上层液体来说，边界条件是：
y??h:u?0,v?0,y?0:u?u,v?0.*
同理解得u1?u?uh*y?u
*（3）有两液体界面处力平衡条将知二者剪切应力应相等，故有
?1du1dy??2du2dy
将表达式代入得u?*?1?1??2UU，
代入得u1?1?1??2hU(?2y??1h)，
u2??1?1??2h(y?h)。
（4）如果将两板间液体作为研究对象，由力的平衡条件知上下板面所受剪应力一定相等，可验证求之。
上板面的剪应力?s??1(du1dydu2dy)y?h??11U?1??2h1?2??1?2U?1??2h?1?2，方向与U相反；
下板面的剪应力?x??2()y??h??2U?1??2h?1?U?1??2hU，方向与U相同。
其实液体中层间所受剪应力处处相等，均为?w??1?2?1??2h，这正满足力平衡条件。
8.12粘度系数为?的均质不可压缩流体沿x方向流过平板（y?0）上方的半无穷大空间， 。设流场y??时速度为U。设平板为多孔介质，穿过它有流体吸出（法向速度vw?常数<0）中压强均匀，处处v?vw，试求二维定常解u(y)。若任取一特征长度L，定义u??uvw?vwU，
，Re?UL，当vw??0.1时，试对Re?1,10,100时画出剖面u?(y?)，
vUL三条曲线画在同一张图上，请讨论：1）使u?(??)?0.99的??在三种情况下各取何值？2）当流体粘性很小（Re>>1）时，u?(y?)与无粘流无旋解有何区别？
， y??解：由题意，对于该二维定常流动，边界条件为
y?0: u?0, v?vw?const?0y??: u?U, v?vw?const?0y
U由N-S的分量形式 ?u?v??0 （1） ?x?y??2u?2u?u?v??v?2? （2） 2??x?y??x?x?y???u?u1?p??2v?2v?u?v???v?2? （3） 2??x?y??x?x?y???v?v1?pyx8.12题图
?u?x?0 ,
对于该流动，x方向是无穷长，没有特征长度，所以再由方程（1）得出
?v?y?0
?v?x?0。
又由于 v?vw?const ， 所以 又流场中压强均匀，则
所以 u?u(y), v??p?xw??p?y?0，
v?cons,t ? p const由方程（2）得vw积分得u?vvwe?u?yv?v?u?y22
C1?vwy?C2
?Uvmv由边界条件求出C1?U, C2?vln故求出定常解u(y)?U(1?evwyv)
8.13无限长的平板与水平面的夹角为?，其上有一层厚度为h的均质不可压缩粘性流体在重力作用下平行于板面流动，其上为自由面。求此定长流动的速度分别，流量、平均速度、最大速度和作用于板面上的摩擦力，并求流体中的压强分布。 解 ：自由面(y=h)上，有 p?p0 令粘度系数为?， 边界条件为
y?0: u?0, v?0, p?p0??ghy?h: ?u?y?0, v?0, p?p0?h
8.13题图
此为二维流动
?u?x??v?y?0 （1）
22v??u?u?u?v???gsin???2? （2） 2??x?y??x?x?y???u?u1?p??2v?2vu?v???gcos??v?2?2?x?y??x?y??x?v?v1?p?? （3） ?x无特征长度，则
?u?y?0，由方程（1）得
?v?y?0，在有边界条件可得出v?0，
有（3）式得出?1?p??x?gcos??0
则有 u?u(y), v?0, p?p(y)
22v??u?u??v???gsin???2?将其代入方程（2）得：u 2??x?y??x?y???x?u?u1?p