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习题九 一、选择题
1．用分子质量m，总分子数N，分子速率v和速率分布函数f(v)表示的分子平动动能平均值为 [ ]
（A）Nf(v)dv； （B）
0????102 （C）mv2f(v)dv；
??102 （D）mv2Nf(v)dv；
??102 mvf(v)dv。
答案：B
解：根据速率分布函数f(v)的统计意义即可得出。f(v)表示速率以v为中心的单位速率区间内的气体分子数占总分子数的比例，而Nf(v)dv表示速率以v为中心的dv速率区间内的气体分子数，故本题答案为B。
2．下列对最概然速率vp的表述中，不正确的是 [ ]
（A）vp是气体分子可能具有的最大速率；
（B）就单位速率区间而言，分子速率取vp的概率最大； （C）分子速率分布函数f(v)取极大值时所对应的速率就是vp；
（D）在相同速率间隔条件下分子处在vp所在的那个间隔内的分子数最多。 答案：A
解：根据f(v)的统计意义和vp的定义知，后面三个选项的说法都是对的，而只有A不正确，气体分子可能具有的最大速率不是vp，而可能是趋于无穷大，所以答案A正确。
3．有两个容器，一个盛氢气，另一个盛氧气，如果两种气体分子的方均根速率相等，那么由此可以得出下列结论，正确的是 [ ]
（A）氧气的温度比氢气的高； （B）氢气的温度比氧气的高；
（C）两种气体的温度相同； 答案：A
解：v2?vrms?1.73
4．如下图所示，若在某个过程中，一定量的理想气体的 U 热力学能（内能）U随压强p的变化关系为一直线（其 延长线过U—p图的原点），则该过程为[ ]
（A）等温过程； （B）等压过程； （C）等容过程； （D）绝热过程。 O P 答案：C
THTOTH2MH2RT1，据题意得2?2,??，所以答案A正确。 MMH2MO2TO2MO216 （D）两种气体的压强相同。
1
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解：由图知内能U?kp，k为曲线斜率，而U?m0iiRT?pV，因此，V为常数，所M22以本题答案为C。
5．有A、B两种容积不同的容器，A中装有单原子理想气体，B中装有双原子理想气体，?U??U?若两种气体的压强相同，则这两种气体的单位体积的热力学能（内能）??和??的
?V?A?V?B关系为 [ ]
?U??U??U??U??U??U?（A）?????；（B）?????；（C）?????；（D）无法判断。
VVVVVV??A??B??A??B??A??B答案：A
解：理想气体状态方程PV??RT，内能U??mUiiRT(??0)。由两式得?P，A、
V22MB两种容积两种气体的压强相同，A中，i?3；B中，i?5，所以答案A正确。
二、填空题
1．用分子质量m，总分子数N，分子速率v和速率分布函数f(v)表示下列各量：
1）速率大于100m/s的分子数 ；
2）分子平动动能的平均值 ；
3）多次观察某一分子速率，发现其速率大于100m/s的概率 ；
?12； mvf(v)dv?100?100f(v)dv。 ?02解：根据速率分布函数f(v)的统计意义，f(v)表示速率以v为中心的单位速率区间内的气体分子数占总分子数的比例，而Nf(v)dv表示速率以v为中心的dv速率区间内的气体
?答案： f(v)Ndv；
?分子数，?f(v)Ndv表示速率在v1到v2v2表示速率在v1到v2之
N间的分子数占总分子数的比例，也即某一分子速率在v1到v2的概率。
2．氢气在不同温度下的速率分布曲线如图所示， 则其中曲线1所示温度T1与曲线2所示温度T2的高低 有T1 T2（填 “大于”、“小于” 或“等于” ）。 答案：小于。
解：根据最概然速率vp?0 f(v) 1 2 v1?之间的分子数，v2v1f(v)Ndv2kT，最概然速率随温度增加，且与分子的质量有关，既然mν 曲线1和曲线2都表示氢气的速率分布曲线，而曲线2所示的最概然速率大于曲线1所
2
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示的最概然速率，因此曲线2所示的温度高于曲线1所示的温度。
3．温度为T 的热平衡态下，物质分子的每个自由度都具有的平均动能为 ；温度为T 的热平衡态下，每个分子的平均总能量 ；温度为T 的热平衡态下，
?mol(??m0/M为摩尔数)分子的平均总能量 ；温度为T 的热平衡态下，每个
分子的平均平动动能 。 答案：kT；kT；?RT；
4．质量为50.0g、温度为18.0oC的氦气装在容积为10.0升的封闭容器内，容器以v?200m/s的速率做匀速直线运动。若容器突然停止，定向运动的动能全部转化为分子
12i2i23kT。 2热运动的动能，则平衡后氦气的温度将增加 K；压强将增加 Pa。 答案：6.42K；0.67?105Pa。
解：定向运动的动能全部转化为分子热运动的动能，所以
11M21M?U???(mv2)?v??0
22NA2NA14?10?32?23???200?13.3?10J 26.02?10232?U2?13.3?10?23?T???6.42K
3k3?1.38?10?23m0R?T50?10?3?8.21?10?2?p???6.42?0.67?105Pa ?3MV4?10?10
5．一定量的理想气体，在温度不变的情况下，当压强降低时，分子的平均碰撞次数Z的变化情况是z （填“减小”、“增大”或“不变”），平均自由程?的变化情况是
? （填“减小”、“增大”或“不变”）。
答案：减小；增大。
解：分子的平均碰撞次数z?2?d2nv，平均自由程??1RTv?1.6，式中，M2?d2n根据题意，理想气体温度不变，因此v不变。根据p?nkT，根据题意，理想气体压强降低，n减小，所以分子的平均碰撞次数Z减小，平均自由程?增大。
三、计算题
1．设想每秒有1023个氧分子（质量为32原子质量单位）以500m?s-1的速度沿着与器壁法线成45o角的方向撞在面积为2?10?4m3的器壁上，求这群分子作用在器壁上的压强。
3
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答案：p?1.88?104Pa
F S?mcvo?s 所有分子对器壁的冲量为： F?t?N2解：如图所示，p?式中N?10。取?t?1s 则F?N?2mvcos?
23?v???vxFN?2mvcos45oP???1.88?104Pa
SS
2．设氢气的温度为300℃。求速度大小在3000m/s到3010m/s之间的分子数N1与速度大小在vp到vp?10m/s之间的分子数N2之比。 答案：
N1?0.78。 N23mv22RT2?8.31?(273?300)m2?2kT2??2182 m/s 解：f(v)?4?()ev，vp?M2?kT2?10?3N1?Nf(v)?v1，N2?Nf(vp)?v2
N1f(v)?v1f(v)ev????2e2mvpN2f(vp)?vpf(vp)vp? 22kTevp? mv22kTv22? M(v2?vp2)2RT?0.78
3．导体中自由电子的运动可以看成类似于气体分子的运动，所以常常称导体中的电子为电子气，设导体中共有N个自由电子，电子气中电子的最大速率为vf（称做费米速率），
2??4?Av,0?v?vf电子的速率分布函数为：f(v)??
0,v?v?f?式中A为常量，求：（1）用N和vf确定常数A；（2）电子气中一个自由电子的平均动能。
答案：（1）A?33；（2）??mev2kf。 34?vf10?解：（1）由速率分布函数的归一化条件?f(v)dv?1，有?4?Av2dv??0dv?1，
0vf?0vf得
34A?，所以常数 ； ?Av3?1f34?vf3（2）电子气中一个自由电子的平均动能为
vf?k??0m1mev2f(v)dv?e22?vf02332v2?4?Av2dv??Amev5?mv??f fef51054
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其中?f?1mev3f，称做费米能级。 2
4．将1mol温度为T的水蒸气分解为同温度的氢气和氧气，试求氢气和氧气的热力学能（内能）之和比水蒸气的热力学能增加了多少？（所有气体分子均视为刚性分子）。 答案：?U?3RT。 4iRT，分解前水蒸气的内能为 2i6U1?RT?RT?3RT
22解：1mol理想气体的内能为U?1mol的水蒸气可以分解为1mol的氢气和0.5mol的氧气，因为温度没有改变，所以分解后，氢气和氧气所具有的内能分别为
i5i155 TU2?RT?RT 和 U3??RT??RT?R222224所以分解前后内能的增量为
553?U?(U2?U3)?U1?(RT?RT)?3RT?RT
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5．在半径为R的球形容器里贮有分子有效直径为d的气体，试求该容器中最多可以容纳多少个分子，才能使气体分子间不至于相碰？
2R2R2?0.472。 答案：N?3d2d解：为使气体分子不相碰，则必须使得分子的平均自由程不小于容器的直径，即满足
??2R由分子的平均自由程??
111n??， 可得
2?d2n2?d2?2?d2(2R)122?d2R上式表明，为了使分子之间不相碰，容器中可容许的最大分子数密度为
nmax? 因此在容积V??R3的容器中，最多可容纳的分子数N为
43432R2R2N?nmax?V???R??0.472 2233dd22?dR15