水库捕鱼优化问题
摘要
本文针对水库放水除草，计算捕鱼的最大收益问题，分别建立了草鱼的日销售收益分段函数模型、捕捞成本指数函数模型、捕鱼方案优化模型以及冻鱼收益与活鱼收益之间的不等式模型对题中的四个问题进行了分析和求解。
问题一：通过建立分段函数，我们确定了草鱼的日销售收益和不同日供应量之间明确的函数关系。
问题二：根据实际情况中捕捞成本与水位之间的变化趋势以及题中所给的水位与时间的一次线性关系，我们以水位作为中间变量建立了捕捞成本与时间变化的指数函数模型。
问题三：由于水温以及氧气含量对鱼类生存的影响很大，当水位降低到6米以下时，水层温度和含氧量将发生明显变化，鱼所适宜的生存空间将随水位的
降低不断减少，捕鱼的损失率将按照不同的函数关系发生变化，我 们同样以水位作为中间变量建立捕鱼了的损失率关于水位高低的分段函数。
问题四：(1).在日供应量不超过市场饱和需求量的前提下，建立捕捞的最优化模型，我们采用累加法，计算出每一天的最大收益，然后加和求出最后的总收益，运用Lingo软件，得出最佳捕捞方案，最大收益为316795.8元。
(2).在日供应量超过市场饱和需求量的情况下，我们综合的考虑了出售冻鱼的情况，考虑了冻鱼和活鱼的价格差M, 单位冻鱼单位时间的储存成本V与最大收益之间的关系，建立了出售冻鱼和出售活鱼两者之间的利润的不等式关系模型。得出当M大于2.3元，V在0.1到0.5元之间时，只出售活鱼。
关键词：日销售收益分段函数；捕捞成本指数模型；捕鱼方案优化模型；冻鱼收益与活鱼收益的不等式模型
一、问题重述
由个人承包的一个水库，需要对水库里的杂鱼做一次彻底清理，因此要放水清库。水库现有水位平均为10米，每天水位下降为0.4米，最低水位为2米，预计需要20天时间，水位可达目标。水库内尚有草鱼二万公斤，鲜活草鱼日供应量在400公斤以下，价格为20元/公斤，日供应量在400～1200公斤，超过部分价格降至18元/公斤，日供应量超过1200公斤时，超过部分价格降至15元/公斤以下，日供应量到1800公斤处于饱和。捕捞草鱼的成本，水位为10米时，每公斤5元；当水位降至2米时，每公斤1元。随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位2米时损失率为20%。联系鱼的总量，水位和损失率等综合因素，试解决下列问题：
问题1：建立草鱼的销售收益随供应量变化的函数关系； 问题2：建立草鱼的捕捞成本随时间变化的函数关系；
问题3：讨论损失率与水位关系，并进一步建立简明合理的草鱼损失率随时间变化的函数关系；
问题4：在日捕捞量不超过市场饱和需求量（1800公斤）以及超过市场饱和需求量两种情况下，效益的最佳。其中，如果日供应量超过饱和值时，可以将鲜鱼冷冻起来，假设冻鱼的销售价格比当日鲜鱼的价格低M，而且每公斤每天的储存费用为V。
二、模型假设
1.假设在此期间草鱼的总数不发生变化。
2.假设在此期间不考虑草鱼的出生率和死亡率。
3.假设每天捕捞的草鱼全都卖完，不存在死鱼的情况。
4.假设捕捞的损失率主要包括水位的变化导致鱼的死亡以及捕捞过程中鱼受伤导致的死亡。
三、符号说明
yixiSiqiCiHWi第i天的销售收益（i?1,?，21)第i天的供应量（i?1，?，21） 第i天的捕捞量（i?1,?,21) 第i天的捕捞成本（i?1,?,21) 第i天的损失率（i?1,?,21) 水位高低 第i天的收益（i?1，?，21） 四、问题分析
本题是有关如何求出最大效益及建立销售收益和供应量、捕捞成本与时间的
关系、损失率与时间的关系的模型，可用数学规划方法分析问题。
针对问题一：根据日供应量草鱼价格不同，它们之间存在比例关系，可将销售收益与供应量描述成一种函数关系，应用MATLAB模拟函数图像直观分析二者之间的关系。
针对问题二：随着水位的下降，草鱼的捕捞成本逐渐降低。并且，根据实际情况可知，捕捞成本下降的速率随水位的降低而降低，故由题中信息可建立草鱼的捕捞成本与水位的高低之间的某种函数关系，而水位的高低与时间呈现一种线性关系，由此可得出捕捞成本与时间之间的一种函数关系，应用MATLAB模拟函数图像对二者进行分析。
针对问题三：根据生活经验，鱼的存活率跟水的温度和水中的含氧量有关。由参考文[1]可知水的导热性能比较差，阳光射到水面的热能大部分为水面下1米左右的水层所吸收，大约只有5％的热能传到5米深的水域，故认为当水位降低到6米以下时，水层温度和含氧量将发生明显变化，鱼所适宜的生存空间将随水位的降低不断减少，所以我们以6米作为一个分界点来建立捕鱼的损失率关于水位高低的分段函数。
针对问题四：在日捕捞量小于市场饱和需求量的情况下，制定合理的捕鱼方案，使得收益最佳，为了保证二十天总收益的最大化，在放水的过程中，使得每一天的收益最大化，因此，应用非线性规划方法，建立一个最优收益模型。在捕捞量超过市场饱和需求量的情况下，为保证收益最大化，对出售冻鱼和出售活鱼两者的利润建立不等式关系，得出最佳方案为只出售活鱼时，冻鱼的保存成本M以及降价量V所满足的条件。
五、模型的建立与求解
5.1 供应量与销售收益的关系
由题中所述可知：水库内共有草鱼总量二万公斤，根据供应量的不同，草鱼的销售价格不同，具体如下：当日供应量在400公斤以下时，价格为20元/公斤，日供应量在400～1200公斤时，超过部分价格降至18元/公斤，日供应量超过1200公斤时，超过部分价格降至15元/公斤以下，日供应量到1800公斤处于饱和，由此可得表1：
表1 草鱼的销售价格随供应量变化的关系 供应量（公斤） 每公斤价格（元） 400以下 20 400～1200 超过400价格降至18 1200～1800 超过1200价格降至15以下 1800～20000 达到饱和 由表1及分析可得，第i天的销售收益yi和第i天的供应量xi的函数关系为分段函数，其中i?1,?,20，具体如下：
?20xi?18x?800?iyi(x)???15xi?4400??314000?xi?400400?xi?1200 (1)
1200?xi?18001800?xi?20000 用MATLAB对上述分段函数(1)作图1：
图1 供应量与销售收益的关系
图1说明了供应量在0—400,400—1200,1200—1800公斤时，销售收益与供应量呈线性关系，当销售量大于1800小于20000时，日供应量已经达到市场饱和需求，故销售收益不随供应量的变化而变化，而稳定在一个值保持不变。 5.2草鱼的捕捞成本随时间变化的函数关系
由题中信息可得，要求得出草鱼的捕捞成本随时间变化的函数关系，前提是求出草鱼的捕捞成本与水位的关系，再根据水位随时间的线性变化关系，从而得出捕捞成本随时间的变化关系。 1捕捞成本与水位的函数关系
由文[5]可知：水库由于存在数目草鱼的捕捞成本随着水位的下降而逐渐降低，由实际情况可知，捕捞成本下降的速率随水位的降低而降低，所以捕捞成本与水位是非线性的关系，所以我们根据假设建立了捕捞成本qi与水位H的指数关系，其中i?1,?,20，关系式如下：
qi(H)?keaH (2)
由题意可知，当水位为10米时，捕捞成本为每公斤5元；当水位降至2米时，捕捞成本为每公斤1元。因此，当H?10时，q?5，当H?2时，q?1，代入式(2)，可解得：
1? ?
?k?54
? (3) 1
?a?ln5
8?
将式(3)代入式(2)得：
qi(H)?5e通过MATLAB对上述函数(4)作图2：
? 141ln5H8 (4)
图2 水位高低与捕捞成本的关系
该图说明了随着水位的下降捕捞成本越来越高，并且随着水位下降的越低，捕捞成本的变化率越来越大，与实际趋势相一致。
2水库水位鱼时间的函数关系
由题意得，水库现有水位平均为10米，自然放水每天水位降低0.4米,水位最低降至2米，这样需要20天时间。因此，建立了水库水位H与时间t的线性关系，-0.4为斜率，10为截距，具体如下：
H?10?0.4t (5)
3捕捞成本与时间的函数关系
将式(5)代入式(4)，得捕捞成本qi关于时间t的函数： qi?t??51?1t20
?0?t?20? (6) 通过MATLAB对上述函数(6)作图3：