不同类型区间上函数一致连续性的判别法
上海财经大学数学系 潘澍原
摘要：本文对各种不同类型区间上函数一致连续性的判定方法进行了详尽的证明，并加以系统的总结，指出了函数的收敛性和导数有界性与函数的一致收敛性的紧密联系。
关键词：一致连续、区间、收敛、导数、有界
函数的一致连续性一直是数学分析学习中的难点，学生在学习过程中常遇到一些困难，特别是在不同区间上函数一致连续性的判定方面，问题尤多。笔者以此文加以总结分析，以期效用。
（一）闭区间
定理1.（Cantor定理）函数f(x)在?a,b?上一致连续的充分必要条件是f(x)在?a,b?上连续。
证明：必要性显然。下证充分性。
证法Ⅰ：用Weirerstrass定理反证。可参见《数学分析》（上册）P112（复旦陈纪修等著，高等教育出版社出版） 证法Ⅱ：用有限覆盖定理。
????x??a,b?，任取某一??0，做邻域O?x,?
?2?????显然，开区间集?O?x,|x?a,b???覆盖了?a,b? ????2??????由有限覆盖定理，?O?x,|x?a,b???中的有限个开区间： ????2??
1
n?n??2??????1??O?x1,?,O?x2,?…O?xn,?覆盖了?a,b?，即?O?xi,i2??2?2?2???i?1????a,b? ??x',x\??a,b?,必有i0?N??1?i0?n?
?i0??i0?使得x'?O?xi0,?，即x'?xi0???i0
2?2?今取?=min???1?2?n?,…? , 若x'?x\??
2??22则x\?xi?x'?xi?x'?x\???00?i02??i02??i02??i0
∵f(x)在点xi??a,b?上连续
0∴由Cauchy收敛准则，???0,?上述的?i?0,?x',x\?O?xi,?i?
000有f(x')?f(x\??成立
∴???0,???0,?x',x\??a,b??x'?x\??? 有f(x')?f(x\??成立 ∴f(x)在?a,b?上一致连续
证毕
注1.有限覆盖定理在分析中用途极广，是重要的工具，应尽量掌握其思想和一般的构造方法。
（二）有限非闭区间
定理1.函数f(x)在?a,b?上一致连续的充分必要条件是f(x)在?a,b?上连续且f(a?)与f(b?)都存在。 证明：先证充分性。
2
f(a?) x?a 构造辅助函数F(x)? f(x) x??a,b? f(b?) x?b 显然，F(x)在?a,b?上连续
∴由Contor定理，F(x)在?a,b?上一致连续
∴F(x)在?a,b?上一致连续，即f(x)在?a,b?上一致连续
再证必要性：f(x)在?a,b?上连续显然。下证f(a?)与f(b?)都存在。 ∵f(x)在?a,b?上一致连续
∴???0,???0,?x',x\??a,b?且x'?x\?? 有f(x')?f(x\??成立
现对0???b?a，取x'?x1,x\?x2??a,a??? 则有x1,x2??a,b?且x1?x2??
∴???0,???0,?x1,x2??a,a???且x1?x2?? 有f(x')?f(x\??成立
∴由Cauchy收敛准则，f(a?)存在 同理，f(b?)存在
证毕
注2.构造法是数学分析中很重要也是最常用的方法之一，应该掌握其方法与技巧。
推论1. 函数f(x)在?a,b?上一致连续的充分必要条件是f(x)在?a,b?上连续且f(b?)存在。
推论2. 函数f(x)在?a,b?上一致连续的充分必要条件是f(x)在?a,b?
3
上连续且f(a?)存在。
由定理1及定理2的证明过程连续函数的Cauchy收敛准与一致连续性则无论是在形式上还是在实质上都有非常紧密的联系。可以说，在一个收敛点的小范围内(?)，函数是一致连续的；反过来，如果函数是一致连续的，在某个小范围内是可以得到函数在某一点的收敛性。这对我们的许多证明具有指导意义。
（三）组合区间
定理3.（一致连续函数的区间可加性）函数f(x)区间在I1和I2上一致连续，若I1?I2??，则f(x)在I1?I2上一致连续。 证明：1。若I1?I2或I1?I2，则结论显然。 2。若I1和I2不相互包含。 ∵f(x)分别在I1和I2上一致连续
∴???0,??1?0,?x',x\?I1且x'?x\??1，有f(x')?f(x\??成立
??2?0,?x',x\?I2且x'?x\??2，有f(x')?f(x\??成立
现考察I1?I2?I? 证法一：∵I??? ∴可从中取得一点x0 ∵f(x)在I1和I2上一致连续 ∴它必在I1?I2?I?上一致连续 ∴f(x)在x0处连续
4
∴由Cauchy收敛准则，?上述?,??3?0,?x',x\?O?x0,???3? 2?? 有f(x'?)f(x\?)?成立
∴?上述?,??3?0,?不同时属于I1或I2的x',x\且x'?x\??3 有f(x'?)f(x\?)?成立
∴???0,???min??1,?2,?3??0,?x',x\?I1?I2且x'?x\?? 恒有f(x')?f(x\??成立 ∴f(x)在I1?I2上一致连续 证法二：∵I???
∴可令?3?m(I?)，并取??min??1,?2,?3?
显然，?x',x\?I1?I2，当x'?x\??时，x',x\总是同在I1或I2中 ∴???0,???0,?x',x\?I1?I2且x'?x\?? 恒有f(x')?f(x\??成立 ∴f(x)在I1?I2上一致连续
证毕
可以看到，该判别法的作用是非常强大的。它把函数已知的一致连续区间进行整合和延拓，得到新的一致连续区间。这样的的区间可加性为我们分段处理函数一致连续性问题提供了理论基础。在许多证明中，该判别法往往是简捷易行而又不可替代的。
（四）无穷区间
定理4.函数f(x)在?a,???上一致连续的充分条件是f(x)在?a,???上连续且f(??)存在。
5