安徽大学2009—2010学年第一学期 《近世代数》考试试卷（B卷）
（时间120分钟）
院/系 专业 姓名 学号
题 号 得
一 二 三 四 总分 分 一、分析判断题（请判断下列命题对错，并简要说明理由）（本 得分 题共5小题，每小题3分，共15分）
1、设?:X?Y为一个映射，A是X的一个非空子集，则??1(?(A))?A．
2、整数集Z对于普通的数的乘法作成一个半群．
3、整数环的全部素理想是由所有素数p生成的主理想?p?和自己本身．
4、若H?G,K?G，则HK?G．
5、域是一个欧氏环．
《近世代数》（B卷）第 1 页 共 6 页
二、计算分析题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 1、给出剩余类环Z12的所有素理想和极大理想．
2、设??(143)(45)(26)，??(267)(43)?S7， 1) 求?，?的阶；
2) 计算????1??， ??1????．
得分
3、求多项式x3?x2?x?1 在Z8中的所有根．
《近世代数》（B卷）第 2 页 共 6 页
三、举例题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 对下列的各种情形，请各举一例 1、除环而非域； 得分
2、群的正规子群而非特征子群．
四、证明题（本题共6小题，每小题10分，共60分） 得分 1、证明：
1) 若环R有正则元，则全体正则元对乘法作成一个半群； 2) 环R的元素a?0是正则元当且仅当由axa?0可得x?0．
《近世代数》（B卷）第 3 页 共 6 页
2、设H,K是群G的两个正规子群，且二者的交为?e?．证明：H与K的元素相乘时可换．
3、设G是一个群，a,b?G，a?1b?1ab称为a,b的换位元，记作?a,b?．由体换位元生成的群称为G的换位子群，记作G?．证明： 1) G?是G的正规子群； 2) 设N?G，则GN是交换群?G??N
《近世代数》（B卷）第 4 页 共 6 页
G的全4、设a,b是群G中阶分别为m与n的两个元素．证明：若ab?ba，则 ab ?m,?n，
其中?m,n?为m与n的最小公倍数, 并证明G中有阶为?m,n?的元素．
5、证明：Gauss整环Z[i]是一个欧氏环．
《近世代数》（B卷）第 5 页 共 6 页
6、设R是一个阶大于1且有单位元的可换环．证明：R是域?R到任意环的非零同态都是单的．
《近世代数》（B卷）第 6 页 共 6 页