气垫导轨上弹簧振子振动的研究
力学实验最困难的问题就是摩擦力对测量的影响。气垫导轨就是为消除摩擦而设计的力学实验的装置，它使物体在气垫上运动，避免物体与导轨表面的直接接触，从而消除运动物体与导轨表的摩擦，也就是说，物体受到的摩擦阻力几乎可以忽略。利用气垫导轨可以进行许多力学实验，如测速度、加速度，验证牛顿第二定律、动量守恒定律，研究简谐振动、阻尼振动等，本实验采用气垫导轨研究弹簧振子的振动。 一、必做部分：简谐振动 [实验目的]
1．测量弹簧振子的振动周期T。 2．求弹簧的倔强系数k和有效质量
m0。
[仪器仪器]
气垫导轨、滑块、附加砝码、弹簧、光电门、数字毫秒计。 [实验原理]
在水平的气垫导轨上，两个相同的弹簧中间系一滑块，滑块做往返振动，如图13-1所示。如果不考虑滑块运动的阻力，那么，滑块的振动可以看成是简谐振动。
设质量为m1的滑块处于平衡位置，每个弹簧的伸长量为x0，当m1距平衡点x时，m1只受
弹性力?k1(x?x0)与?k1(x?x0)的作用，其中k1是弹簧的倔强系数。根据牛顿第二定律，其运动方程为 图13-1简谐运动原理图 ?（1） ?k1(x?x0)?k1(x?x0)?m?x令 k?2k1
方程（1）的解为
x?Asin?(0t??0) （2）
说明滑块是做简谐振动。式中：A—振幅；?0—初相位。
?0?km
（3）
?0叫做振动系统的固有频率。而
m?m1?m0 （4）
式中：m—振动系统的有效质量；m0—弹簧的有效质量；m1—滑块和砝码的质量。
?0由振动系统本身的性质所决定。振动周期T与?0有下列关系：
T?
2??0?2?m1?m0m?2?kk （5）
在实验中，我们改变m1，测出相应的T，考虑T与m的关系，从而求出k和m0。
[实验内容]
1．按气垫导轨和计时器的使用方法和要求，将仪器调整到正常工作状态。
2．测量图13-1所示的弹簧振子的振动周期T，重复测量6次，与T相应的振动系统的有效质量是m?m1?m0，其中m1就是滑块本身（未加砝码块）的质量，m0为弹簧的有效质
量。
3．在滑块上对称地加两块砝码，再按步骤2测量相应的周期T，这时系统的有效质量
m?m2?m0，其中 m2应是滑块本身质量加上两块砝码的质量和。
4．再用m?m3的质量”；
?m0和m?m4?m0测量相应的周期T。式中：m3?m1?“4块砝码
m4?m1?“6块砝码的质量”。（注意记录每次所加砝码的号数，以便称出各自
的质量。）
5．测量完毕，先取下滑块、弹簧等，再关闭气源，切断电源，整理好仪器。 6．在天平上称衡两弹簧的实际质量与其有效质量进行比较。
7．求出弹簧的倔强系数k和有效质量m0，以及弹簧的有效质量与实际质量之比。 [数据处理]
1．用逐差法处理数据。 由下列公式：
T12T22T32
232T424?2??(m1?m0)?k?4?2?(m2?m0)??k?4?2?(m3?m0)?k?24???(m4?m0)?k? （6）
4?2(m3?m1)?k??T32?T12??4?2(m4?m2)??k??22?T4?T2?
4?2T?T1?(m3?m1)k4?222T4?T2?(m4?m2)k（7）
1k?(k??k??)2故 （8）
如果由（7）式得到k?和k??的数值是一样的（即两者之差不超过测量误差的范围），说明（5）式中T与m的关系是成立的。将平均值k代入（6）式，得
kTi2moi??mi4?2 （i=1, ……，4）
（9）
14m0??moi4i?1
（10）
平均值m0就是弹簧的有效质量。 2．用作图法处理数据
4?4?2m022T?mTi图，得直线。其斜率为k，截距为k以i为纵坐标，mi为横坐标，作i，
2由此可求出k和m0。
[思考题] 仔细观察，可以发现滑块的振幅是不断减小的，那么为什么还可以认为滑块是做简谐振动？实验中应如何尽量保证滑块做简谐振动？
二、选做部分：阻尼振动 [实验目的]
1．观测弹簧振子在有阻尼情况下的振动，测定表征阻尼振动特性的一些参量，如对数减缩
?、驰豫时间?、品质因数Q的方法；
2．利用动态法测定滑块和导轨之间粘性阻尼常量b。 [实验仪器]
气垫导轨，滑块，弹簧，光电门，数字毫秒计，附加物。 [实验原理]
一个自由振动系统由于外界和内部的原因，使其振动的能量逐渐减少，振幅因之逐渐衰减，最后停止振动，这就是阻尼振动。在单摆和天平的实验中我们观察到阻尼振动，实际上不仅在力学实验中，也不限于机械运动，例如，电流指针的运动，LRC振荡电路中的电流、电压变化等也是阻尼振动。
本实验的阻尼谐振子由气垫导轨上的滑块和一对弹簧组成，如图13-2。此时滑块除受弹簧恢复力作用外，还受到滑块与导轨之间的粘性阻力的作用。在滑块速度较小时，粘性阻力F阻和滑块的速度成正比，即
F阻?bv?bdxdt （11）
图13-2阻尼振动原理图
式中b为粘性阻尼常量。气垫导轨上由滑块和一对弹簧组成的振动系统，在弹性力kx和阻尼力F阻作用下，滑块的运动方程为
d2xdxm2??kx?bdtdt （12）
式中m为滑块质量。令
2??b2k,?0?mm，其中常数?称为阻尼因数，?0为振动系统的固
有频率，则式（12）可改写为
d2xdx2?2???x?002dt dt （13）
当阻力较小时，此方程的解为
x?A0e??tcos?(ft??) （14）
22?????0其中f，而阻尼振动周期T为
T?图13-3 2?
?f?2??02??2 （15）
由以上可知，阻尼振动的主要特点是：
??tA?Ae01．阻尼振动的振幅随时间按指数规律衰减，如图13-3，即。显然，振幅衰减的
快慢和阻尼因数?的大小有关，而
??b2m，因而和粘性阻尼常量b及振子质量m有关。
T(?2．阻尼振动周期T要比无阻尼振动周期
2??0)略长，阻尼越大，周期越长。
为直观地反映阻尼振动的衰减特性，常用对数减缩?、弛豫时间?及品质因数Q来表示。在弱阻尼情况下，它们清楚地反映了振动系统的振幅及能量衰减的快慢，而且提供了粘性阻尼常量b的动态测量方法。 （1）对数减缩?
是指任一时刻 t的振幅A（t）和过一个周期后的振幅A（t+T）之比的对数，即
A0e??t??ln??T??(t?T)Ae0 （16）
b??2m代入上式，得 将
b?2m?T
（17）
即测出?，就能求得?或b。
（2）弛豫时间?
它是振幅A0衰减至初值 e-1(=0.368) 倍所经历的时间，即
A0e??r?A0e?1
所以
??1??T? （18）
（3）品质因数Q
一个振动系统的品质因素又称Q值，是一个应用极为广泛的概念，它在交流电系统及无线电电子学中是一个很常见的术语。品质因数是指振动系统的总能量E与在一个周期中所损耗的能量?E之比的2? 倍，用Q表示，则
Q?2?E?E
（2-19）
阻尼振动中，能量的损耗是由于克服阻尼力作功而造成的，其作功的功率等于阻尼力的大小bv乘以运动速率v，即等于bv2。在振动时，bv2是一个变量，可用一个周期中的平均值作为这一周期中的平均效果。这样，一个周期中的能量损耗?E等于一个周期中克服阻尼力作的功，所以
?E?(bv2)平均T
而对于振动系统而言，一个周期中的平均动能等于平均势能，且均等于总能量的一半，即
111(mv2)平均?(kx2)平均?E222
(v2)平均?Em
因而
?E?bTEm （20）
综合式（20）、（17）、（19），得出
Q??? （21）
从以上的讨论可知，只要测出阻尼振动的对数减缩，就能求出反映阻尼振动特性的其它量，如b、?、Q。
[实验内容]
1．利用半衰期法求?。测定滑块、弹簧组成的阻尼谐振子的对数减缩?，弛豫时间?及品质因数Q。
半衰期是指阻尼振动的振幅从初值A0减到A0/2时所经历的时间，记为Th，则
A0?A0e??T2h
由此可得
Th???ln2?
参照式（16）可得，
Tln2Th （22）
用停表测出阻尼谐振子的振幅从A0减小到A0/2的时间Th及周期T，计算对数减缩?，进而求出?和Q值以及阻尼常量b值。
2．考查振子质量及弹簧的劲度系数k对阻尼振动各常数的影响。
在滑块上附加质量、改换不同劲度系数的弹簧再测b、?及Q值，从对比中分析其影响。 [思考题]
1．阻尼振动周期比无阻尼（或阻尼很小时）振动周期长，你能否利用此实验装置设法加以证明？
2．讨论在振动系统的m和k相同的情况下，阻尼的大小对对数减缩?及品质因数Q的影响。
3．现有直径不同而质量相同的有机玻璃圆板，可安装在滑块上，圆板面和振动方向垂直，滑块在振动时在有机玻璃板的后面将产生空气的旋涡，这时有压差阻力作用在圆板上。研究加上圆板后，振动系统粘性阻尼常量b将如何变化？b值和圆板面积大小有何关系？