2016-2017学年河南省洛阳市高二下学期期中考试
数学（理）试题
一、选择题
1．复平面内，复数z对应的点为?2,1?，则复数z的共轭复数z的虚部为（ ） A. 1 B. ?1 C. i D. ?i 【答案】B
【解析】由题意可知, z?2?i,所以z?2?i,所以复数z的共轭复数z的虚部为?1；故选B.
2．曲线y?x3?3x2?1在点?1,?1?处的切线方程为（ ） A. 3x?y?4?0 B. 3x?y?2?0 C. 4x?y?3?0 D. 4x?y?5?0 【答案】B
【解析】有题意可知， y'?3x?6x ，所以y'|x?1??3，所以曲线y?x?3x?1在
232点?1,?1?处的切线方程为3x?y?2?0.
3．有一段演绎推理是这样的：“若函数f?x?的图象在区间D上是一条连续不
断的曲线，且f'?x0??0，则f?x?在点x0处取得极值；已知函数f?x??x3在R上是一条连续不断的曲线，且f'?0??0，则f?x?在点x?0处取得极值”.对于以上推理，说法正确的是（ ）
A. 大前提错误，结论错误 B. 小前提错误，结论错误
C. 推理形式错误，结论错误 D. 该段演绎推理正确，结论正确
【答案】A
【解析】∵大前提是：“若函数f?x?的图象在区间D上是一条连续不断的曲线，
且f'?x0??0，则f?x?在点x0处取得极值”，不是真命题，因为对于可导函数f?x?，
如果f'?x0??0，且满足当x?x0附近的导函数值异号时，那么x?x0 是函数f?x?的极值点，∴大前提错误，导致结论错误，故选A．
4．函数f?x??ax?bx?cx?d?a?0?的图象不可能是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】对于图像C，可知该函数的导函数由三个零点，又∵f'?x??3ax?2bx?c，
2可知f'?x??0至多2个零点，所以可知选项C错误，故选C．
111”是“函数f?x??x3?x2?cx?d有极值”的（ ） 432A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5．“c?【答案】B
1312x?x?cx?d有极值，则f'?x??x2?x?c?0应3211该有解，即??1?4c?0，得c?；根据函数极值的定义，可知“c?”时，“函数
44111f?x??x3?x2?cx?d不一定有极值”，所以“c?”是“函数
32411f?x??x3?x2?cx?d有极值”的必要不充分条件，故选B.
32【解析】若函数函数f?x??6．由曲线xy?1，直线y?x,y?3所围成的平面图形的面积为（ ）
32 B. 2?ln3 9C. 4?ln3 D. 4?ln3
A. 【答案】D
【解析】试题分析：,故选D.
【考点】定积分的应用.
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7．已知a?1?7， b?3?5， c?4，则a， b， c的大小关系为（ ）
A. a?b?c B. c?a?b C. c?b?a D. b?c?a 【答案】C
【解析】试题分析： ?a2?8?27,b2?8?215,c2?16?c2?b2?a2?c?b?a 【考点】比较大小
28．一物体沿直线做运动，其速度v?t?和时间t的关系为v?t??2t?t，在t?1到
t?3时间段内该物体行进的路程和位移分别是（ ）
222222A. 2， ? B. 2， C. ， D. ， ?
333333【答案】A
【解析】由定积分的几何性质可知，该物体的行进的路程为
??2t?t?dt???2t?t?dt?(t2212223212124?t3|1)?(t2?t3|3)???2；该物体的行进23333的位移为?2t?t1?2?121242，故dt??2t?t2dt?(t2?t3|1)?(t2?t3|3)????23333323??选A.
9．函数f?x?的图象如图所示，设f'?x?是f?x?的导函数，若0?a?b，下列
各式成立的是（ ）
A. f'??2ab??a?b??f'????f'a?b2???????2ab?ab B. f'???f'a?b??????a?b?ab?f'??
2????C. f'??a?b??2ab??f'????f'?2??a?b??a?b?ab D. f'???f'?2???2ab?ab?f'??
?a?b?【答案】D
【解析】由函数f?x?的图象可知， f'?x?在区间?a,b?上单调递减，由基本不等式的性质可知， D.
10．已知函数f?x??mx?lnx?2x在定义域内存在单调递减区间，则实数m的
2a?b2ab?a?b??ab?，所以f'??f'?2a?b?2???2ab?ab?f'??，故选
?a?b??取值范围是（ ）
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A. m?11 B. m? C. m?1 D. m?1 22【答案】B
1?2，x?0，函数f?x??mx2?lnx?2x在x1定义域内是增函数，所以f'?x??0 成立，即2mx??2?0(x?0)恒成立，所以
x【解析】求导函数，可得f'?x??2mx?1?1??2m???1??1，所以?2m??1，所以m? 时，函数f?x?在定义域内是增函
2?x?数．故选B．
11．已知f?x?是定义在R上的函数，导函数f'?x?满足f'?x??f?x?对于x?R2恒成立，则（ ）
A. ef??2??f?0?，
2f?2017??e2017f?0? B. e2f??2??f?0?，
f?2017??e2017f?0?
C. ef??2??f?0?，
2f?2017??e2017f?0? D. e2f??2??f?0?，
f?2017??e2017f?0?
【答案】C 【
解
析
】
令
F?x??f?x?ex，则
F'?x??f'?x????exf，
x∵f'?x??f?x?∴F'?x??∴∴f?0?故选C.
12．对于函数f?x??f'?x??f?x?ex
，
2?0，∴F?x?在R上递减，
F?0??F??2?f??2?e?2F?0??F?2017?2017，
，f?0?f?2017?e2017∴ef??2??f?0?， f?2017??ef?0?，
sinx?3??， x??0,?，下列说法错误的是（ ） x?2?A. 函数f?x?在区间?0,??是单调函数 B. 函数f?x?只有1个极值点 C. 函数f?x?在区间?0,【答案】C
【解析】函数f?x???????有极大值 D. 函数f?x?有最小值，而无最大值 2?sinxxcosx?sinx???，可得函数f'?x?? ，当x??0，?时，由xx2?2?第 4 页 共 13 页
三角函数线可知， x?tanx，即不等式xcosx?sinx?0成立，可得x??0，?时，
????2????f'?x??0 ，函数是减函数．当x??,??时， xcosx?sinx?0，函数是减函数．函
?2?数在x??2 时连续，所以函数f?x??sinx，x??0,??的单调区间为?0，??，又当x?3?x???,2???时， xcosx?sinx?0，即f'?x??0，则函数在x??时取得极小值，?所以函数f?x?有最小值，而无最大值，据此可知选项C错误，故选C. 点睛：对于①针对函数f?x??sinx???的性质，当x??0，?时，由三角函数线可知， x?2?x?tanx；利用商的导数运算法则及基本初等函数的导数公式，求出函数的导数
xcosx?sinxf'?x??，然后根据导函数的符号确定函数的单调性和函数的极值即可得
x2到结论．
13．六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体，在平行四边形ABCD中
（如图甲），有AC2?BD2?2AB2?AD2，利用类比推理，在平行六面体，AC12?BD12?CA12?DB12?__________． ABCD?A1BC11D1中（如图乙）
??
222【答案】4AB?AD?AA1
??【解析】如图，平行六面体的各个面以及对角面都是平行四边形，因此，在平行四边形
ABCD中， AC2?BD2?2?AB2?AD2? ?①；在平行四边形ACC1A1中， A1C2?AC12?2AC2?AA12B1D2?BD12?2BD2?BB12?????②；在平行四边形BDD1B1中， ?③
；
②
、
③
相
加
，
得
?A1C2?AC12?B1D2?BD12?2AC2?AA12?2BD2?BB12 ?④将①代入④，再
2222222结合AA ． 1C?BD1?4AB?AD?AA11?BB1得， AC1?B1D?A?????第 5 页 共 13 页
二、填空题
14．函数f?x??2x?1在区间a,b上的平均变化率为__________． 【答案】2
【解析】函数f?x??2x?1在区间
???a,b?上的平均变化率为：
?2?b?1???2?a?1??2b?a4 ．
15．定积分?16?x?【答案】4??4
??0?21?x?dx?__________． 2?441?124??1?22【解析】??16?x?x?dx??16?xdx???x?dx?4??x|0?4??4 ．
2?2?40?00?a216．已知a， b为正实数，直线y?x?a与曲线y?ln?x?b?相切，则的
1?b取值范围是__________．
【答案】?0,1?
【解析】函数的导数为y'?41?1，x?1?b，切点为?1?b,0?，代入y?x?a ，x?ba2a2a2?得a?b?1 ，∵a、b 为正实数，∴a??01，令g?a??，，?，则
1?b2?a2?a则g'?a??a?4?a??2?a?2a2?0，则函数g?a?为增函数，∴??0,1?．故答案为?0,1?.
1?b
三、解答题
17．已知复数z1?m?2m?3??m?1?i是纯虚数（m?R）.
2（1）求m的值；
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