北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学学科测试（理工类）2013．5 第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的
一项．
1．已知集合M??0,1,3?，集合N??xx?3a,a?M?，则MUN=（ ）．
A．?0? B．?0,3? C．?1,3,9? D．?0,1,3,9?
2．若?(x2?mx)dx?0，则实数m的值为（ ）． 012A．? B．? C．?1 D．?2
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3．执行如图所示的程序框图．若输出的结果是16，则判断框内的条件是（ ）．
1A．n?6? B．n?7? C．n?8? D．n?9?
x2y24．若双曲线2?2?1(a?0,b?0)的渐近线与抛物线y?x2?2有公共点，
ab则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）． A．[3,??) B．(3,??)
C．(1,3] D．(1,3)
5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）．
11 B． 631C． D．1
2A．
6．某岗位安排3名职工从周一到周五值班，每天只安排一名职工值班，每人至少
安排一天，
至多安排两天，且这两天必须相邻，那么不同的安排方法有（ ）． A．10种
?f(x),x?0,F(x)?7．已知函数f(x)?a?2?1(a?0)，定义函数 给出下列命题： ???f(x),x?0.x B．12种 C．18种 D．36种
①F(x)?f(x)； ②函数F(x)是奇函数；③当a?0时，若mn?0，m?n?0，总有F(m)?F(n)?0成立，其中所有正确命题的序号是（ ）．
A．② B．①② C．③ D．②③
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uuruuur8．点P是棱长为3的正方体ABCD?A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则PAgPC1的取值范围是（ ）．
1111A．[?1,?] B．[?,?] C．[?1,0] D．[?,0]
4224第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．i为虚数单位，计算
?x?2cos?10．若直线l与圆C:?（?为参数）相交于A，B两点，且弦AB的中点坐标是(1,?2)，则直
y??1?2sin??3?i? ． 1?i线l的倾斜角为 ．
11．如图，PC切圆O于点C，割线PAB经过圆心O，PC?4,PB?8，
则tan?COP? ， △OBC的面积是 ．
12．某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x吨，运费为3万元/次，
一年的总存储费用为2x万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨．
?3x?4y?19?13．将一个质点随机投放在关于x,y的不等式组?x?1所构成的三角形区域内，则该
?y?1?BOAPC质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是 ．
14．数列{2n?1}7,的前n项1,3,7,L,2n?1组成集合An?{1,3,Ln,?2n1}?(N?，从集合An中任取k(k?1,2,L3,n,个数，其所有可能的)k个数的乘积的和为Tk（若只取一个数，规定乘积为此数本身），A1?{1}，T1?1，S1?1；A2?{1,3}，T1?1?3，T2?1?3，记Sn?T1?T2?L?Tn．例如当n?1时，当n?2时，
S2?1?3?1?3?7．则当n?3时，S3? ；试写出Sn? ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分）
在△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，且f(A)?2cos（Ⅰ）求函数f(A)的最大值； （Ⅱ）若f(A)?0,C???,a?6，求b的值． 12AAAAsin(??)?sin2?cos2． 2222 2 / 17
（16）（本小题满分14分）
如图，四边形ABCD是正方形，EA?平面ABCD，EA∥PD，AD?PD?2EA?2，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．
（Ⅰ）求证：FG∥平面PED；
（Ⅱ）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小；
（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点M,使直线FM与直线PA所成的角为60o？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．
P H
F E D G A B C
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（17）（本小题满分13分）
为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛”．比赛成绩共有90分，70分，60分，40分，30分五种，按本次比赛成绩共分五个等级．从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：
成绩等级 成绩（分） 人数（名） A 90 B 70 C 60 D 40 E 30 7 6 10 3 4 （Ⅰ）根据上面的统计数据，试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A或B”的概率；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，若从该地区参加“数独比赛”的小学生（参赛人数很多）中任选3人，记X表示抽到成绩等级为“A或B”的学生人数，求X的分布列及其数学期望EX；
（Ⅲ）从这30名学生中，随机选取2人，求“这两个人的成绩之差大于20分”的概率．
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（18）（本小题满分13分）
mx?1?m?0?，g(x)?x2eax(a?R)． 2x?1（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；
已知函数f(x)?（Ⅱ）当m?0时，若对任意x1,x2?[0,2]，f(x1)?g(x2)恒成立，求a的取值范围．
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