附录1 各向同性张量分量的构成
通常有两种求各向同性张量分量表达式的方法。一是利用某些特殊的坐标变换，根据各向同性张量定义直接求出分量表达式；二是利用线性张量函数和各向同性张量函数的Chauchy表示定理求分量表达式。前者较为直观，阶数升高时比较麻烦，后者较为抽象，但适用于任意阶张量。
附1.1 用特殊坐标变换求各向同性张量分量表达式
根据定义，各向同性张量为在任意直角坐标系下分量值不变的非零张量，如
??AijAij?l?AijklAijk
? 一阶张量
一阶张量满足
ai???ijaj??i1a1??i2a2??i3a3
考虑附图1特殊坐标变换
附图1 ??e??e?e??特殊坐标变换??????ij????????????????????反射变换 （I） （a） e?e??e?????e??e?轮换旋转变换（II） （b） ??e??e?e??e????????ij???????????????????? 根据各向同性张量定义和变换II（附图1b）
???12a2???1?a2?a2a1=a1???23a3???1?a3=a3（1.1a） a2=a2???31a1???1?a1?a1a3=a3?a1=a2?a3 （1.1b）
根据变换I（附图1a）
???11a1???1?a1??a1a1=a1?
?a1?0
a1=a2?a3?0
1
这表明
★ 不存在一阶各向同性张量
从（1.1）式的推导过程可归纳下面的轮换定理：
将各向同性张量分量指标作置换 1?2,2?3例如
A11=A22=A33A12=A23?A31 A21=A32=A13,3?1所得的分量值不变。
? 二阶张量
根据变换I（附图1a）
?=?11?11A11???1?A11?A11 A11=A11??2?=?11?22A12???1???1?A12??A12A12=A12?=?22?11A21???1???1?A12??A21A21=A21A12?0A21?0
再由轮换定理
A11=A22=A33=?A12=A23?A31?A21=A32=A13=0
所以有
Aij=??ij 这是二阶各向同性张量分量的一般形式。
? 三阶张量
根据变换I（附图1a）
?=?11?11?11A111???1?A111??A111A111=A1113?A111?0
不难得知，指标中有两个2，一个1或两个3，一个1或三个指标均不同的分量也有同样结果
A133?A313=A331?0A122?A212=A221?0A123=A231=A312?A132=A213=A321?0
再由轮换定理
2
A111=A222=A333?0A112=A223?A331?0A113=A221?A332?0A121=A232?A313?0A131=A212?A323?0A211=A322?A133?0 A311=A122?A233?0至此27个分量全为零，表明
★ 不存在三阶各向同性张量
? 四阶张量
第一，考虑4个指标相同的分量（共3个） 根据变换I（附图1a）
A?=?41111=A111111?11?11?11A1111???1?A1111?A1111 由轮换定理
A1111=A2222=A3333=? （1.2）
第二，考虑3个指标相同的分量（共24个） 根据变换I（附图1a）
A31112=A1112?=?11?11?11?22A1112???1???1?A1112??A1112?不难得知，指标中有三个1一个2或三个1一个3的分量也有同样结果
A1112=A1121=A1211?A2111?0 A1113=A1131=A1311?A3111?0
再由轮换定理
A1112=A2223?A3331?0A1121=A2232?A3313?0A1211=A2322?A3133?0A2111=A3222?A1333?0A1113=A2221?A3332?0A1131=A2212?A3323?0A1311=A2122?A3233?0A3111=A1222?A2333?0所以有3个指标相同的分量全为0。
第三，考虑2个指标相同另两个不同的分量（共36个） 根据变换I（附图1a）
A3312=A?=?2331233?33?11?22A3312???1???1???1?A3312??A3312不难得知，指标中有两个3，或两个2的分量也有同样结果
3
A1112?0
?A3312?0
A3312=A3321=...?A1323?0(12个)
A2231=A2213=...?A3212?0(12个)
再由轮换定理
A1123=A1132=...?A2131?0(12个)
36个分量全为0。
第四，考虑指标中有两对重复的分量（共18个） 根据变换I（附图1a）
?=?11?11?22?22A1122???1?A11222??1?A1122?A1122
类似
?=A1212A1212?=A2112 A2112根据附图2变换III可证1，2指标可交换
（III） 附图2 反射与旋转复合变换 ??e??e?e??e?????e??e??????ij???????????????????? ?=?12?12?21?21A2211???1?A1122=A11222??1?2A2211
同理
A1212=A2121A1221=A2112
再由轮换定理
A1122=A2211=A2233=A3322=A3311=A1133??A1212=A2121=A2323=A3232=A3131=A1313=? A2112=A1221=A3223=A2332=A1331=A3113??至此81个分量全部确定，归纳为
Aijkl???ij?kl???ik?
4
jl???il?jk （1.3）
Aijkl???ij?kl????ij?klA??II???II?T?jk??T?jk????ij?klTT?ik??T?T?ik?
???II?上式虽然未出现（1.2）式的?，但实际上包括了 i=j=k=l的情况，由（1.2）式和（1.3）式得
???????
可见?不是独立参数。
（1.3）式是四阶各向同性张量分量的一般形式。
从以上讨论可知，奇数阶张量不是各向同性张量，这是否为普遍规律？另外当阶数进一步升高，用上面方法构造各向同性张量非常困难。
附1.2 用线性张量函数和Chauchy表示定理求分量表达式
? 各向同性张量函数与Chauchy表示定理
自变量为张量的函数称张量函数，其函数值可以是标量，也可以是张量，例：
v=A?uvi=Aijuj （1.4）
u 、v为向量，A为二阶张量。当A为固定值，u为变量时，v为u的张量函数，函数关系为，
f??=A??（1.4）式记为 ?，
v=f?u? （1.5）
。 f或A亦称为变换或映射，它把一向量变换为另一向量（见附图3a）
附图3 y?向量的变换 y?v?f?u?v?v???u?u?uy?y?（a） 向量变换的图示 正交变换保持长度和夹角不变 （b） 如果某变换
v=Q?u（1.6）
保持任意两个向量的点积不变，则称为正交变换。我们知道，点积决定向量的长度和夹角，因此,在正交变换下，向量的长度与向量之间的夹角不变（见附图3b）。
5