有理数基本运算
中考要求
内容 有理数运算 基本要求 理解乘方的意义
略高要求 掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主） 能用有理数的运算律简化运算 较高要求 能运用有理数的运算解决简单问题 有理数的运算律 理解有理数的运算律
例题精讲
板块一、有理数基本加、减混合运算
有理数加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. ③一个数同0相加，仍得这个数. 有理数加法的运算步骤：
法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤： ①确定和的符号； ②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差. 有理数加法的运算律：
①两个加数相加，交换加数的位置，和不变.a?b?b?a(加法交换律) ②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. (a?b)?c?a?(b?c)(加法结合律) 有理数加法的运算技巧：
①分数与小数均有时，应先化为统一形式. ②带分数可分为整数与分数两部分参与运算. ③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零. ④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加. ⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起. ⑥符号相同的数可以先结合在一起. 有理数减法法则：
减去一个数，等于加这个数的相反数.a?b?a?(?b) 有理数减法的运算步骤：
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①把减号变为加号（改变运算符号） ②把减数变为它的相反数（改变性质符号） ③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算. 有理数加减混合运算的步骤：
①把算式中的减法转化为加法； ②省略加号与括号； ③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.
注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为
只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式.
例如：(?3)?(?0.15)???9??(?5)?(?11)?3?0.15?9?5?11， 它的含义是正3，负0.15，负9，正5，负11的和.
5116【例1】 (2级)计算：⑴(?2.39)?(?1.57)?(?3)?(?5)?(?2)?(?7.61)?(?32)?(?1.57)
676711⑵?(?0.75)?0.375?(?2) 8421133111【解析】 ⑴原式?(?10)?0?1+(-38)??46；⑵原式???(?)?(?2)??(?3)??2
33884422
【例2】 (2级)计算：
312⑴??3????13????35????14?；⑵1?2?1.75?3
463?1?1?41??3???⑶???????4.5?； ⑷??0.5????2.5?0.3??
3?6?72??7????【解析】 ⑴原式??3?13?35?14??37
1?31?3??2⑵原式??1?1.75???3?2??0?1?1
6?62?4??3⑶原式?0.5?4.5?⑷原式?
43???4?1??5 7711 52121【巩固】 (2级)⑴(?4)?(?3)??8 ⑵(?6)?(?9)?|?3|?7.4?9.2?(?4)?0
335517111⑶(?14)?(?5)?(?1.25)??9.5 ⑷(?8.5)?3?(?6)?11?0
883325317⑸(?9)?15?(?3)?(?22.5)?(?15)??35
124412434⑹(?18)?(?53)?(?53.6)?(?18)?(?100)??100
55511324⑺??|1?(?)|???2 ⑻?4.7?(?3.3)?(?5.6)?(?2.1)??0.3
35535111?1?⑼(?3)?[(?3)?3]???(?3)??0
444?4?
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【巩固】 (2级)⑴a?0，b?0则a?b 0； ⑵a?0，b?0则a?b 0；
⑶a?0，b?0，则a?(?b) 0；⑷a?0，b?0，且|a|?|b|，则a?b 0.
【解析】 ⑴＞；⑵＜；⑶＜；⑷＞.
ba?b，a的形式，又可分别表示为0，，【例3】 （6级）设三个互不相等的有理数，既可分别表示为1，b的形
a式，则a2004?b2001?
b【解析】 这两个三数组在适当的顺序下对应相等，于是可以判定，a?b与a中有一个为0，与b中有一个
ab?1，原式值为2 为1，可推出a??1，
?202，...，2003，2004，这串连续整数共有 个；它们的和【例4】 (2级)给出一连串连续整数：?203，是
??203?2004??2208?1988304 【解析】 2208个，和为
2
【例5】 （6级）(第8届希望杯)1997个不全相等的有理数之和为0，则这1997个有理数中( )
A．至少有一个是零 B．至少有998个正数 C．至少有一个是负数 D．至多有995个是负数
【解析】 答案为C
【巩固】 （6级）(第17届希望杯2试)若a?b?0?c?d，则以下四个结论中，正确的是( )
A．a?b?c?d一定是正数． B．d?c?a?b可能是负数． C．d?c?b?a一定是正数． D．c?d?b?a一定是正数．
【解析】 分析：答案为C．a?b?c?d不能确定正负；d?c?a?b一定为正；d?c?b?a一定是正数；c?d为负，?b?a为正，c?d?b?a不能确定正负．
【例6】 (2级)（北京）北京市2007年5月份某一周的日最高气温（单位：oC）分别为：25，28，30，29，31，
32，28，这周的日最高气温的平均值为（ ）
A. 28oC B. 29oC C. 30oC D. 31oC
B. 当一组大小比较集中的数字求和时，我们可以先找一个“基准数”，（基准数尽量选用这组数的中间数，同时兼顾它是整十、整百的数，方便计算）.本题中我们可以选用30为“基准数”，那么平均值=30+（-5-2+0-1+1+2-2）÷7=29（oC）；其总和=30×7+（-5-2+0-1+1+2-2）=203（oC）.
【解析】
【例7】 （4级）(07年济南中考题)
出租车司机小李某天下午的营运全都是在东西方向的人民大街上进行的，如果规定向东为正， 向西为负，他这天下午行车里程表示如下:
?15，?2，?5，?1，?10，?3，?2，?12，?4，?5，?6，
⑴将最后一名乘客送到目的地时，小李距离下午出车时的出发点多远? ⑵如果汽车耗油量为0.5升/千米，这天下午小李共耗油多少升?
【解析】 ⑴(?15)?(?2)?(?5)?(?1)?(?10)?(?3)?(?2)?(?12)?(+4)+(?5)+(+6)=39，距离出发点为39千米；
⑵共走了+15+?2++5+?1++10+?3+?2++12++4+?5++6 =65(千米)的里程，
所以耗油为65?0.5?32.5(升).
【巩固】 （4级）（07～08学年北京四中阶段测试）A市的出租车无起步价，每公里收费2元，不足1公里
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2.3、的按1公里计价，9月4号上午A市 某出租司机在南北大道上载人，其承载乘客的里程记录为：
?7.2、?6.1、8、9.3、?1.8（单位：公里，向北行驶记为正，向南行驶记为负），车每公里耗 油0.1升，每升油4元，那么他这一上午的净收入是多少元？他最后距离出发点多远？
【解析】 毛收入：(3?8?7?8?10?2)?2?76(元)，
汽油成本：(2.3??7.2??6.1?8?9.3??1.8)?0.1?4?13.88（元），收入76?13.88?62.12（元）.
他最后距离出发点的距离：2.3?(?7.2)?(?6.1)?8?9.3?(?1.8)?4.5（公里）.
【例8】 （8级）（无锡市中考题、人大附中练习题改编）
数轴的原点O上有一个蜗牛，第1次向正方向爬1个单位长度，紧接着第2次反向爬2个单位长度，第3次向正方向爬3个单位长度，第4次反向爬4个单位长度……，依次规律爬下去，当它爬完第100次处在B点． ① 求O、B两点之间的距离（用单位长度表示）． ② 若点C与原点相距50个单位长度，蜗牛的速度为每分钟2个单位长度，需要多少时间 才能到达？ ③ 若蜗牛的速度为每分钟2个单位长度，经过1小时蜗牛离O点多远？
【解析】 ①1?(?2)?3?(?4)??99?(?100)??50，
故O、B两点之间的距离为50个单位长度． ②分两种情况，第一种情况：点C在数轴的正半轴，观察规律可知：除去第一次，依次每两次 结合相当于向正方向前进1米，所以再经过(50?1)?2?98（次）运动即可前进50米，到达B地；用时为：(1?2?3?98?99)?2?2475（分钟）．
第二种情况：点C在数轴的负半轴，观察规律可知，每两次结合相当于向负半轴前进1米，故经过100次运动即可前进50米，到达B地，用时为：(1?2??100)?2?2525（分钟）．
123456n③设第n次运动时，正好60分钟，那么有????????60，所以n?15，此时
2222222它离A点：1?2?3?4?5?6??13?14?15?8（米）．
【巩固】 （6级）（第5届希望杯2试）
电子跳蚤在数轴上的某一点K0，第一步K0向左跳1个单位到点K1，第二步由点K1向右跳2个单位到点K2，第三步有点K2向左跳3个单位到点K3，第四步由点K3向右跳4个单位到点
K4，．．．．．． ，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰好是19.94． 求电子跳蚤的初始位置点K0所表示的数．
【解析】 假设电子跳蚤的起点K0为x0，规定向左为负，向右为正，根据题意可得：
x0?1?2?3?4?5?6??99?100?19.94，x0??30.06．
【巩固】 （10级）在整数1，3，5，7，…，2k?1，…，2005之间填入符号“＋”和“－”号，依此运算，所有
可能的代数和中最小的非负数是多少？
【解析】 这道题也是一个老题，由于整数的符号不影响其奇偶性，因此也不影响代数和的奇偶性，我们首先
可以利用：1?3?5??2005?10032，得知所有可能的代数和均为奇数，再考虑到非负数这一条件，我们期望这一最小值为1．接下来我们的目标无非是填入符号“＋”和“－”凑出1来，考虑到共有1003个数，我们需要利用周期性.
注意到，7?9?11?13?0，15?17?19?21?0，，(2k?3)?(2k?1)?(2k?1)??2k?3??0
，1999?2001?2003?2005?0，因此容易凑出所要的结果来 1???1?3?5???7?9?11?13????1999?2001?2003?2005?．
但是题目中要求在数与数之间填入符号“＋”和“－”号，所以可以对算式的前7项做处理，修改为：1??1?3?5?7?9?11?13????1999?2001?2003?2005?
【巩固】 （10级）(07年希望杯培训试题)在1，3，5，…，101这51个奇数中的每个数的前面任意添加一个
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正号或一个负号，则其代数式的绝对值最小为多少？
【解析】 由于1?3?5?7??101?512为奇数，对于连续的4个奇数我们添加符号如下，使其结果为0，即：
(2n?1)?(2n?3)?(2n?5)?(2n?7)?0，这样我们可以使后48个奇数和为0，对于1、3、5我们可以如下添加符号使其绝对值最小：?1?3?5?1，于是可得和的绝对值最小为1．
【巩固】 （8级）(2000年辽宁)在数1，2，3，……，1998前添符号“+”或“-”，并依次运算，所得结果中最小
的非负数是多少？
【解析】 由于1?2?3??1999?1999?999是一个奇数，而在1，2，3，…，1998之间任意添上“+”号或“－”
号不会改变其代数式和的奇偶性，故所得额非负数不小于1.现考虑在四个连续自然数n，n?1，n?2，n?3之间添加符号，显然n?(n?1)?(n?2)?(n?3)?0，这提示我们将1，2，3，，1998每连续四个数分成一组，再按上述规则添加符号，即：
?1?2?3?4???5?6?7?8????1993?1994?1995?1996??1997?1998?1
所求的最小非负数为1.
【例9】 （6级）试利用正方形的面积，计算以下无穷个数的和：
1111111???????... 24816326412811的矩形，接着，再把面积为的矩形中的一个22111等分成面积为的矩形，在把面积为的矩形中的一个等分成两个面积为的矩形，…，显然，图
4481111中所有矩形面积之和是整个正方形的面积，所以????...?1
248161121411681???32【解析】 如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为
【例10】 （6级）（2005年大连市中考）
11111在数学活动中，小明为了求?2?3?4?...?n的值（结果用n表示），设计了如图所示的几何
22222图形
112124图122123图2
11111?2?3?4?...?n的值 222221111 ⑵请你用图2，再设计一个能求?2?3?...?n的值的几何图形
22221【解析】 ⑴原式?1?n；⑵略
2
【例11】 （4级）（芜湖市课改实验区中考试题） ⑴请你用这个几何图形求
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