中国地质大学（北京）继续教育学院 2013年09课程考试
《现代控制理论》模拟题（补）
一．判断题 1．状态变量的选取具有非惟一性。 （ √ ） 2．由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。 （ √ ） 3．传递函数G(s)的所有极点都是系统矩阵A 的特征值，系统矩阵A 的特征值也一定都是传递函数G(s)的极点。 （ × ） 4．若一个对象的连续时间状态空间模型是能控的，则其离散化状态空间模型也一定是能控的。 （ × ） 5．对一个系统，只能选取一组状态变量 （ × ） 6．由状态转移矩阵可以决定系统状态方程的状态矩阵，进而决定系统的动态特性。（ √ ） 7．传递函数只能给出系统的输出信息；而状态空间表达式不仅给出输出信息，还能够提供系统内部状态信息。 （ √ ） 8．一个系统的平衡状态可能有多个，因此系统的李亚普诺夫稳定性与系统受干扰前所处得平衡位置无关。 （ × ） 9．系统的状态观测器存在的充分必要条件是：系统能观测，或者系统虽然不能观测，但是其不能观测的子系统的特征值具有负实部。 （ √ ） 10．如果线性离散化后系统不能控，则离散化前的连续系统必不能控。 （ × ） 11．一个系统BIBO稳定，一定是平衡状态xe?0处渐近稳定。 （ × ） 12．状态反馈不改变系统的能控性。 （ √ ） 13．对系统x?Ax，其李亚普诺夫意义下的渐近稳定性和矩阵A的特征值都具有负实部是一致的。 （ √ ） 14．极点配置实际上是系统镇定问题的一个特殊情况。 （ × ） 15．若传递函数存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控不能观的。
（ × ）
16．若系统状态完全能控，则对非渐近稳定系统通过引入状态反馈实现渐近稳定，称为镇定问题。 （ √ ）
二．填空题 1．动态系统的状态是一个可以确定该系统 行为 的信息集合。这些信息对于确定系统 未来 的行为是充分且必要的。
2．以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交 线性 空间，称之为 状态空间 。
3． 能控性 定义: 线性定常系统的状态方程为x(t)?Ax(t)?Bu(t),给定系统一个初始状态x(t0)?x0,如果在t1?t0的有限时间区间[t1,t0]内,存在容许控制u(t),使x(t1)?0,则称系统状态在t0时刻是 能控 的;如果系统对任意一个初始状态都 能控 , 称系统是状态完全 能控 的。
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?(t)?Ax(t)?Bu(t)?x4．系统的状态方程和输出方程联立，写为?，称为系统的 状态空
y(t)?Cx(t)?Du(t)?间表达式 ，或称为系统动态方程，或称系统方程。
??Ax?Bu表示时，系统的特征多项式为 5．当系统用状态方程x 。 f(?)?de?t(I?A )6．设有如下两个线性定常系统(I)??7x???0??00??2??0?u则系统（I），（II）
?50?x?????0?1???9??0(II)??700??01??x??40?u的能控性为，系统（I） 不能控 ,系统（II）
x??0?50
??????0?1??0??75??能控 。
7．非线性系统x?f(x)在平衡状态xe处一次近似的线性化方程为x?Ax，若A的所有特征值 都具有负实部 ，那么非线性系统x?f(x)在平衡状态xe处是一致渐近稳定的。 8．状态反馈可以改善系统性能，但有时不便于检测。解决这个问题的方法是： 重构 一个系统，用这个系统的状态来实现状态反馈。 9．线性定常系统齐次状态方程解x(t)?eA(t?t0)x(t0)是在没有输入向量作用下，由系统初始
状态x(t0)?x0激励下产生的状态响应，因而称为 自由 运动。 10．系统方程??x(t)?Ax(t)?bu(t)为传递函数G(s)的一个最小实现的充分必要条件是系
?y(t)?cx(t)统 能控且能观测 。
11．在所有可能的实现中，维数最小的实现称为 最小实现 ，且不是唯一的。 12．系统的状态方程为
x1?x2x2?x2?x1，试分析系统在平衡状态处的稳定性，即系统在平衡状
态处是 不稳定的 。
13．带有状态观测器的状态反馈系统中，A-bK的特征值与A-GC的特征值可以分别配置，互不影响。这种方法，称为 分离原理 。
14． 若A为对角阵,则线性定常系统x(t)?Ax(t)?Bu(t),y(t)?Cx(t)状态完全能观测的充分必要条件是 C中没有全为0的列 。
15．具有 能控 标准形的系统一定能控；具有 能观 标准形的系统一定能观。 16．线性系统的状态观测器有两个输入，即 系统的输入u 和 系统的输出y 。
三．选择题
1．下列描述系统数学模型时线形定常系统的是（ C ）。 A．??x1?2x1?x2?u?x1?2x1?x1x2 B．?
x?3x?ux?4x?u?21?22第2页（共9页）
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C．??x1?2x1?2x2?u?x1?5x1?6x2 D．?
?x2?5x2?u?x2?2x1?5x2?ut2．如图所示的传递函数结构图，在该系统的状态空间表示中，其状态的阶数是（ D ）。
A．1维 B．2维 C．3维 D．4维 3．下列语句中，正确的是（ D ）。
A．系统状态空间实现中选取状态变量是唯一的，其状态变量的个数也是唯一的 B．系统状态空间实现中选取状态变量不是唯一的，其状态变量的个数也不是唯一的 C．系统状态空间实现中选取状态变量是唯一的，其状态变量的个数不是唯一的 D．系统状态空间实现中选取状态变量不是唯一的，其状态变量的个数是唯一的 4．状态转移矩阵?(t)?eAt，不具备的性质是（ C ）。 A．?(0)?I B．?(t)?A?(t) C．e(A?B)t?eAteBt D．?eAt??ekAt
k5．单输入单输出系统能控标准形和能观测标准形的关系正确的是（ A ）。
TA．Ao?AcTC．Ao?AcTbo?CcTT B．Ao?AcCo?bcTbo?bcTbo?CcT Co?CcT Co?bcbo?CcCo?bc D．Ao??Ac6．对于矩阵A,(sI?A)是奇异的是（ D ）。
?1?1?2??103??010??? B．A??400? C．A??100? D．A不存在
0A．A?22??????????453???052???052???a0?。 x,y??11?x具有能观测性，则常数a取值为（ A ）??12?A．a?1 B．a?1 C．a?2 D．a?2
7． 若系统x??8．已知系统为x???1?01??0?x?u，存在以下命题： ????00??1??1①(sI?A)非奇异；②(sI?A)奇异； ③(sI?A)非奇异； ④(sI?A)奇异； 以上命题正确的个数为：（ C ）。
A．0 B．1 C．2 D．3 9．设系统x????10??0?x?u????0?1??1?。 y??10?x,则（ D ）
A. 状态能控且能观测 B. 状态能控但不能观测 C. 状态不能控但能观测 D. 状态不能控且不能观测
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?x?sinx?u210．?在x0?0u?0处线性化方程为：（ A ）。
?y?cosx?sinuA．??x?x?x?x?2u?x?2u?x?x B．? C．? D．?
?y?u?y?1?u?y?1?u?y?1?u。 ,n)为A的特征值，下列说法正确的是（ A ）
11．?i(i?1,2,A．Re(?i)?0，则x?Ax是渐近稳定的 B．Re(?1)?0Re(?j)?0，则系统是不稳定的
C．Re(?i)?0，则系统是渐近稳定的 D．Re(?i)?0，则系统是李亚普诺夫稳定的
s2?6s?912．G(s)?2的能观测标准形矩阵分别为（ D ）。
s?4s?5A．A???01??0?,b?,c??24?,d?1 ?????5?4??1??00?5??0?????B．A?10?4,b?2,c??001?,d?1 ???????011???4???010??0??0???,b??0?,c??2?,d?1
01C．A?0???????????5?41???1???4???0?5??2?D．A???,b??4?,c??01?,d?1
1?4????
四．简答题
1．简述由一个系统的n阶微分方程建立系统状态空间模型的思路。 答: 先将微分方程两端取拉氏变换得到系统的传递函数; 传递函数的一般形式是
bnsn?bn?1sn?1?b1s?b0 G(s)?nn?1s?an?1s?a1s?a0 若bn?0，则通过长除法，传递函数G(s)总可以转化成
cn?1sn?1?c1s?c0c(s)G(s)?n?d??d n?1s?an?1s?a1s?a0a(s) 将传递函数
c(s)分解成若干低阶(1阶)传递函数的乘积，然后根据能控标准形或能观标a(s)准形写出这些低阶传递函数的状态空间实现，最后利用串联关系，写出原来系统的状态空间
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模型。
2．解释系统状态能控性的含义,并给出线性定常系统能控性的判别条件。
答: 对一个能控的状态，总存在一个控制律，使得在该控制律作用下，系统从此状态出发，经有限时间后转移到零状态。
?x?Ax?Bu对于n阶线性定常系统?
y?Cx?（1）若能控性矩阵Qc???BABAn?1B??行满秩，则系统是能控的。
（2）若系统的能控格拉姆矩阵 Wc(0,T)?
五．计算题
1．已知线性定常系统的状态方程为x???T0e?AtBBeT?ATtdt非奇异，则系统是能控的。
?01??0??1?，初始条件为试求x?ux(0)????????2?3??1???1??1输入为单位阶跃函数时系统状态方程的解。
?1??1?1?1?s解：状态转移矩阵?(t)?L[(sI?A)]?L??
2s?3??s?3??(s?1)(s?2)?(t)?L?1?2????(s?1)(s?2)?11??t?2t(s?1)(s?2)??2e?e????t?2ts????2e?2e(s?1)(s?2)??e?t?e?2t??
?e?t?2e?2t???0.5?0.5e?2t? x(t)??(t)x(0)?A[I??(t)]B??? ?2t?e????
2．设系统∑1和∑2的状态空间表达式为
??01??0?x?x??1??1?1?u1?3?4????1:???y?21x?1?1??x2??2x2?u2 ?2:?y?x?22（1）试分析系统∑1和∑2的能控性和能观性，并写出传递函数；
（2）试分析由∑1和∑2组成的串联系统的能控性和能观性，并写出传递函数。 解：（1）
?01??21?:Q?,rankQ?2;Q??1c?1?4?co??3?2?,rankQo?2
?????两个子系统既能控又能观。
2?2??2x2?u2?x:??y2?x2
（2）以系统∑1在前系统∑2在后构成串联系统为例（串联顺序变化状态空间表达式不同，又都是SISO系统，传递函数相同）：
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