2013年春 西南大学《数学分析选讲》作业及答案(共5次,已整理)
第一次作业 【主观题】 【论述题】
一、判断下列命题的正误
1. 设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确 (正确)
2. 收敛数列必有界. (正确) 3. 设数列{an}与{bn}都发散，则数列{an?bn}一定发散.
4．若S为无上界的数集,则S中存在一递增数列趋于正无穷.
5．若一数列收敛，则该数列的任何子列都收敛. (正确)
二、选择题 1．设f(x)??(错误) (正确)
?x?2,x?1, 则 f[f(1)]?( A ) .
?3?x,x?1A ?3 ； B ?1 ； C 0 ； D 2
2．“对任意给定的??(0,1)，总存在正整数N，当n?N时，恒有|xn?a|?2?2”是数列
{xn}收敛于a的（ A ）.
A 充分必要条件； B 充分条件但非必要条件； C 必要条件但非充分条件； D 既非充分又非必要条件 3．若数列{xn}有极限a,则在a的?(?0)邻域之外，数列中的点（ B ） A 必不存在 ； B 至多只有有限多个；
C 必定有无穷多个 ； D 可以有有限个，也可以有无限多个 4．数列{xn}收敛，数列{yn}发散，则数列{xn?yn} （ D ）．
A 收敛； B 发散； C 是无穷大； D 可能收敛也可能发散 5．设lim|xn|?a，则 （ C ）
n??A 数列{xn}收敛； B limxn?a；
n??C 数列{xn}可能收敛，也可能发散； D limxn??a；
n??6．若函数f(x)在点x0极限存在，则（ C ） A f(x)在x0的函数值必存在且等于极限值； B f(x)在x0的函数值必存在，但不一定等于极限值； C f(x)在x0的函数值可以不存在；
D 如果f(x0)存在的话必等于函数值
7．下列极限正确的是（ D ） A limxsinx?01sinx11?1； B lim?1； C limxsin?0； D limsinx?1
x??x??x?0xxxx8． limx?02?12?11x1x?（ D ）
A 0； B 1 ； C ?1 ； D 不存在
三、计算题
(3x?6)70(8x?5)201．求极限 lim.
x???(5x?1)906??5???3???8??x??x??lim?90x???1???5??x??7020(3x?6)70(8x?5)20解: limx???(5x?1)90370?820 ?9052．求极限 lim(x??x?12x?1). x?22x2x1x21?1??1???[(1?)]1?1?1???????x?12x?1xxxx?lim)?lim?解：lim( ??????limxx??x??x?2x??x??2?22?2?1???1???1??[(1?)2](?4)x?x??x???xe2??4?e6. e113． 求极限 lim(1???n??2311 解：由于1?(1???2311lim(1???n??2311?)n n111n?)?nn， 又limnn?1， 由迫敛性定理
n??n11?)n?1 nnx?n?x,x?(??,??)的连续性.若有间断点指出其类型. 4．考察函数f(x)?limxn??n?n?xnx?n?xn2x?1?lim2x??1；解： 当x?0时，有f(x)?limx同理当x?0时，有f(x)?1.
n??n?n?xn??n?1??1,x?0?而f(0)?0，所以f(x)?sgnx??0,x?0。所以0是f的跳跃间断点.
?1,x?0?
四、证明题
设liman?a，limbn?b，且a?b. 证明：存在正整数N，使得当n?N时，有
n??n??an?bn.
a?ba?b?b. 因为liman?a?，由保号性定理，存在N1?0，
n??22a?ba?b使得当n?N1时有an?。 又因为limbn?b?，所以，又存在N2?0，使得
n??22a?ba?b?bn N1,N2}，当n?N时，有an?当n?N2时有bn?. 于是取N?max{22证 由a?b，有a?
【客观题】
【判断题】狄利克雷函数D(x)是有最小正周期的周期函数 错 【选择题】设数列{An}收敛，数列{Bn}发散，则数列{AnBn} D 【判断题】收敛数列必有界 对
【判断题】两个（相同类型的）无穷小量的和一定是无穷小量 对 【判断题】若函数在某点无定义，则在该点的极限不存在 错
【选择题】设 f,g 为区间 (a,b)上的递增函数，则 min{f(x),g(x)}是(a,b) 上的 A
【选择题】设f在[a,b]上无界，且f(x)不等于0,则1/f(x)在[a,b]上 D 【判断题】闭区间上的连续函数是一致连续的 对 【判断题】两个收敛数列的和不一定收敛 错 【判断题】有上界的非空数集必有上确界 对 【判断题】两个无穷小量的商一定是无穷小量 错
【选择题】若函数f在(a,b)的任一闭区间上连续，则f B 【选择题】一个数列{An}的任一子列都收敛是数列{An}收敛的 C
【判断题】若f,g在区间I上一致连续，则fg在I上也一致连续。 错 【判断题】区间上的连续函数必有最大值 错 【判断题】两个收敛数列的商不一定收敛 对
【选择题】设函数f(x)在（a-c,a+c）上单调，则f(x)在a处的左、右极限 B 【选择题】定义域为[a,b],值域为（-1，1）的连续函数 B 【选择题】y=f(x)在c处可导是y=f(x)在点(c，f(c))处存在切线的 A 【判断题】最大值若存在必是上确界 对
【选择题】设f,g在（-a,a)上都是奇函数，则g(f(x))与f(g(x)) A 【判断题】两个无穷大量的和一定是无穷大量 错
【选择题】函数f在c处存在左、右导数，则f在c点 B 【判断题】若函数在某点可导，则在该点连续 对
【判断题】若f(x)在[a,b]上有定义，且f(a)f(b)<0,则在(a,b)内至少存在一点c,使得f(c)=0 错
第二次作业 【主观题】 【论述题】
一、判断下列命题的正误
1. 若函数在某点无定义，则在该点的极限可能存在. （错误） 2. 若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上一致连续．（错误）
3. 若f(x)在[a,b]上有定义，且f(a)f(b)?0,则在(a,b)内至少存在一点?,使得
f(?)?0. （错误）
4. 初等函数在其定义区间上连续. （正确） 5．闭区间[a,b]的全体聚点的集合是[a,b]本身. （正确） 二、选择题
1．下面哪些叙述与数列极限liman?A的定义等价（ A ）
n??A ???(0,1)，?N?0，?n?N，|an?A|??； B 对无穷多个??0，?N?0，?n?N，|an?A|??； C ???0，?N?0，有无穷多个n?N，|an?A|??； D ???0，有{an}的无穷多项落在区间(A??,A??)之内
2．任意给定M?0，总存在X?0，当x??X时，f(x)??M，则（ A ） A limf(x)???； B limf(x)???； C limf(x)??； D limf(x)??
x???x??x???x???3．设a为定数.若对任给的正数?，总存在X?0，当x??X时，f(x)?a??，则（ D ）.
A limf(x)?a； B limf(x)?a； C limf(x)?a； D limf(x)??
x???x???x??x??4．极限lim(1?2x)?（ B ）
x?01xA e ； B e ； C e ； D 1 5．lim2?2?1
sin(x?1)?（ C ） 2x?1x?11 ； D 0 2A 1 ； B 2 ； C
6．定义域为[a,b]，值域为(??,??)的连续函数 （ C ） A 存在； B 可能存在； C 不存在； D 存在且唯一
1?x?7．设 f(x)??(1?2x) , x?0 在x?0处连续， 则k?（ D ）
??k , x?01A 1 ； B e ； C ?1 ； D 2
e8．方程x?x?1?0至少有一个根的区间是（ D ） A (0,411)； B (,1) ； C (2,3) ； D (1,2) 22三、计算题
111?2???n2 1．求极限 lim22n??111?2???n333112n?121?2?2 ?limn??11?n13?131?31?111?2???n2解： lim22n??111?2???n3332．求极限 lim(n??1n?112?1n?21n?222??1n?n12)
解：因为
nn?n2 nn?12 又limnn?n2n???limn??n?12?1，所以由迫敛性定理， limn??1n?12?1n?22??1n?n2?1