∠1 = ∠2 AD = AD
∴△AED≌△ACD ∴AC = AE ∵AE = AB＋BE ∴AC = AB＋BE 即AB＋BD = AC
⑵平分二倍角
例：已知，如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，∠BAC = 2∠DBC
求证：∠ABC = ∠ACB
证明：作∠BAC的平分线AE交BC于E，则∠BAE = ∠CAE = ∠DBC
∵BD⊥AC
o
∴∠CBD ＋∠C = 90
Ao
∴∠CAE＋∠C= 90
oo
∵∠AEC= 180－∠CAE－∠C= 90
D∴AE⊥BC
o
∴∠ABC＋∠BAE = 90
BoCE∵∠CAE＋∠C= 90
∠BAE = ∠CAE ∴∠ABC = ∠ACB
⑶加倍小角
例：已知，如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，∠BAC = 2∠DBC
求证：∠ABC = ∠ACB
证明：作∠FBD =∠DBC,BF交AC于F（过程略） A规律36.有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点
F连结起来.
o
例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120，EF为AB的D垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E
1求证：BF =FC
2证明：连结AF，则AF = BF
∴∠B =∠FAB ∵AB = AC ∴∠B =∠C
o
∵∠BAC = 120
BC
- 16 -
∴∠B =∠C∠BAC =
o
1oo
(180－∠BAC) = 30 2EBFA∴∠FAB = 30
ooo
∴∠FAC =∠BAC－∠FAB = 120－30 =90
o
又∵∠C = 30
C
1FC 21∴BF =FC
2∴AF =
练习：已知，如图，在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，
DM⊥AB于M，DN⊥AC延长线于N 求证：BM = CN
A规律37. 有垂直时常构造垂直平分线.
例：已知，如图，在△ABC中，∠B =2∠C，AD⊥BC于D
M求证：CD = AB＋BD ECB证明：（一）在CD上截取DE = DB，N连结AE，则AB = AE
∴∠B =∠AEB DA ∵∠B = 2∠C ∴∠AEB = 2∠C
又∵∠AEB = ∠C＋∠EAC CE∴∠C =∠EAC ∴AE = CE
又∵CD = DE＋CE A∴CD = BD＋AB
（二）延长CB到F，使DF = DC，连结
CAF则AF =AC（过程略） D规律38.有中点时常构造垂直平分线.
例：已知，如图，在△ABC中，BC = 2AB, ∠ABC = 2∠C,BD = CD
求证：△ABC为直角三角形
证明：过D作DE⊥BC，交AC于E，连结BE，则BE = CE，
∴∠C =∠EBC ∵∠ABC = 2∠C ∴∠ABE =∠EBC
∵BC = 2AB，BD = CD
A∴BD = AB
E在△ABE和△DBE中
AB = BD
CDB
BF
- 17 -
DB
∠ABE =∠EBC BE = BE
∴△ABE≌△DBE ∴∠BAE = ∠BDE
o
∵∠BDE = 90
o
∴∠BAE = 90
即△ABC为直角三角形
规律39.当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题.
o
例：已知，如图，在△ABC中，∠A = 90，DE为BC的垂直平分线
222
求证：BE－AE = AC
证明：连结CE，则BE = CE Ao
∵∠A = 90E222
∴AE＋AC = EC
222BC∴AE＋AC= BE D222
∴BE－AE = AC
o
练习：已知，如图，在△ABC中，∠BAC = 90，AB = AC，P为BC上一点
222
求证：PB＋PC= 2PA
A规律40.条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三
角形中.
oo
例：已知，如图，在△ABC中，∠B = 45，∠C = 30，AB BPC=2，求AC的长.
解：过A作AD⊥BC于D
o
∴∠B＋∠BAD = 90，
oo
∵∠B = 45，∠B = ∠BAD = 45， ∴AD = BD
A
∵AB = AD＋BD，AB =2 2
2
2
B∴AD = 1
o
∵∠C = 30，AD⊥BC ∴AC = 2AD = 2
DC
四边形部分
规律41.平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半.
例：已知,□ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC
的周长多8cm，求这个四边形各边长. 解：∵四边形ABCD为平行四边形
- 18 -
∴AB = CD，AD = CB，AO = CO ∵AB＋CD＋DA＋CB = 60
AO＋AB＋OB－(OB＋BC＋OC) = 8 ∴AB＋BC = 30，AB－BC =8 ∴AB = CD = 19，BC = AD = 11
答：这个四边形各边长分别为19cm、11cm、19cm、11cm.
规律42.平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之
差.
（例题如上）
规律43.有平行线时常作平行线构造平行四边形
o
例：已知，如图，Rt△ABC，∠ACB = 90，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，过F
作FH∥AB交BC于H 求证：CE = BH C5证明：过F作FP∥BC交AB于P，则四边形FPBH为
3E平行四边形 F4H∴∠B =∠FPA，BH = FP 12oAB∵∠ACB = 90，CD⊥AB DP oo
∴∠5＋∠CAB = 45，∠B＋∠CAB = 90 ∴∠5 =∠B ∴∠5 =∠FPA
又∵∠1 =∠2，AF = AF ∴△CAF≌△PAF ∴CF = FP
∵∠4 =∠1＋∠5，∠3 =∠2＋∠B ∴∠3 =∠4 ∴CF = CE ∴CE = BH
练习：已知，如图，AB∥EF∥GH，BE = GC 求证：AB = EF＋GH A规律44.有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长
F此线段.
H例：已知，如图，在□ABCD中，AB = 2BC，M为AB中点
BCEG求证：CM⊥DM
证明：延长DM、CB交于N
∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AD = BC，AD∥BC
∴∠A = ∠NBA ∠ADN =∠N
D2C - 19 -
AM31BN
又∵AM = BM ∴△AMD≌△BMN ∴AD = BN ∴BN = BC
∵AB = 2BC，AM = BM ∴BM = BC = BN
∴∠1 =∠2，∠3 =∠N
o
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠N = 180，
o
∴∠1＋∠3 = 90 ∴CM⊥DM
规律45.平行四边形对角线的交点到一组对边距离相等. 如图：OE = OF 规律46.平行四边形一边（或这边所在的直线）上EAD的任意一点与对边的两个端点的连线所
O构成的三角形的面积等于平行四边形面
B积的一半. FC 如图：S△BEC =
1S□ABCD 2AED规律47.平行四边形内任意一点与四个顶点的连线所构
成的四个三角形中，不相邻的两个三角形的面积之和等于平行四边形面积的一半. 如图：S△AOB ＋ S△DOC = S△BOC＋S△AOD =
BC
DAOBC1S□ABCD 2规律48.任意一点与同一平面内的矩形各点的连线中，不相
邻的两条线段的平方和相等.
如图：AO2＋OC2 = BO2＋DO2
A规律49.平行四边形四个内角平分线所围成的四边形O为矩形.
B如图：四边形GHMN是矩形
（规律45～规律49请同学们自己证明） 规律50.有垂直时可作垂线构造矩形或平行线.
例：已知，如图，E为矩形ABCD的边AD上一点，且BE = BED，P为对角线BD上一点，PF⊥BE于F，PG⊥AD于G
求证：PF＋PG = AB
证明：证法一：过P作PH⊥AB于H，则四边形AHPG为矩形
∴AH = GP PH∥AD
- 20 -
DODACAGHBCDNMC