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2013年高考真题精校精析
2013·江西卷(理科数学)
1．， 已知集合M＝{1，2，zi}，i为虚数单位，N＝{3，4}，M∩N＝{4}，则复数z＝( ) A．－2i B．2i C．－4i D．4i
1．C [解析] zi＝4?z＝－4i，故选C.
2． 函数y＝xln(1－x)的定义域为( ) A．(0，1) B．[0，1) C．(0，1] D．[0，1]
2．B [解析] x≥0且1－x>0，得x∈[0，1)，故选B. 3． 等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第四项等于( ) A．－24 B．0 C．12 D．24 3．A [解析] (3x＋3)2＝x(6x＋6)得x＝－1或x＝－3.当x＝－1时，x，3x＋3，6x＋6分别为－1，0，0，则不能构成等比数列，所以舍去；当x＝－3时，x，3x＋3，6x＋6分别为－3，－6，－12，且构成等比数列，则可求出第四个数为－24.
4． 总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A.08 B．07 C.02 D．01
4．D [解析] 选出来的5个个体编号依次为：08，02，14，07，01.故选D. 2
x2－3?展开式中的常数项为( ) 5． ?x??A．80 B．－80 C．40 D．－40 5．C
25－r
[解析] Tr＋1＝Cr5(x)
r10－5r?－23?＝Cr
(－2)x，当r＝2时，得常数项为40，故选C. 5
?x?r
5
1
6． 若S1＝?2x2dx，S2＝?2dx，S3＝?2exdx，则S1，S2，S3的大小关系为( )
??x?
1
1
1
A．S1 C．S2 6．B [解析] S1＝S3＝e x ，S2＝ ?2 ?)1＝e2－e，易知S2 ? ?? 7． 阅读如图1－1所示的程序框图，如果输出i＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( ) 图1－1 A．S＝2*i－2 B．S＝2*i－1 C．S＝2*i D．S＝2*i＋4 7．C [解析] 依次检验可知选C. 8． 如图1－2所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝( ) 图1－2 A．8 B．9 C．10 D．11 8．A [解析] 直线CE与上下两个平面平行，与其他四个平面相交，直线EF与左右两个平面平行，与其他四个平面相交，所以m＝4，n＝4，故选A. 9． 过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于( ) A. 33 B．－ 33 3 C．± D．－3 3 |－k2| 9．B [解析] AB：y＝k(x－2)，k<0，圆心到直线的距离d＝2<1，得－1 k＋1|AB|＝21－d＝221－k21 2，S△AOB＝|AB|d＝221＋k（1－k2）k23 时，22，－1 S△AOB最大．故选B. 10．， 如图1－3所示，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧FG的长为x(0 图1－3 图1－4 ? ?? cos x＋12BE1－t .△ABC的边长为，＝，2132 3 cos x＋1 ，当x∈(0，π)时，非2 10．D [解析] 设l，l2距离为t，cos x＝2t2－1，得t＝ 得BE＝22243 (1－t)，则y＝2BE＋BC＝2×(1－t)＋＝23－ 3333 π 线性单调递增，排除A，B，求证x＝的情况可知选D. 2 11． 函数y＝sin 2x＋2 3sin2 x的最小正周期T为________． π 2x－?＋3，所以最小正周期为π. 11．π [解析] y＝sin 2x＋3(1－cos 2x)＝2sin?3?? π 12． 设，为单位向量，且，的夹角为，若＝1＋32，＝21，则向量在方向上的射影为________． 35 12. [解析] 向量在方向上的射影为 25 ||cos θ＝|＝＝. 2 13．， 设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________． 1 13．2 [解析] f(ex)＝x＋ex，利用换元法可得f(x)＝ln x＋x，f′(x)＝＋1，所以f′(1)＝2. xx2y2 14． 抛物线x＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF 33 2 为等边三角形，则p＝________． 14．6 [解析] 由题知三角形边长为 1p2 p，得点B?p，－2?，代入双曲线方程得p＝6. ?3?3??x＝t， 15． (1)(坐标系与参数方程选做题)设曲线C的参数方程为?2(t为参数)，若以直角坐标系?y＝t? 的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________． (2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1的解集为__________________． 15．(1)ρcos2θ－sin θ＝0 (2)[0，4] [解析] (1)曲线方程为y＝x2，将y＝ρsin θ，x＝ρcos θ代入得ρcos2θ－sin θ＝0. (2)－1≤|x－2|－1≤1?0≤|x－2|≤2?－2≤x－2≤2，得0≤x≤4. 16． 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－3sin A)cos B＝0. (1)求角B的大小； (2)若a＋c＝1，求b的取值范围． 解：(1)由已知得－cos(A＋B)＋cos Acos B－3sin A cos B＝0，即有sin A sin B－3sin Acos B＝0， π因为sin A≠0，所以sin B－3cos B＝0，又cos B≠0，所以tan B＝3，又0 3(2)由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accos B. 1?2112?因为a＋c＝1，cos B＝，有b＝3?a－2?＋. 2411 又0 42 ? ?? 22 17． 正项数列{an}的前n项和Sn满足：S2n－(n＋n－1)Sn－(n＋n)＝0. (1)求数列{an}的通项公式an； n＋15* (2)令bn＝. 22，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈，都有Tn<64（n＋2）an 22解：(1)由S2n－(n＋n－1)Sn－(n＋n)＝0，得 [Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0. 由于{an}是正项数列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n. 于是a1＝S1＝2，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n. 综上，数列{an}的通项为an＝2n. (2)证明：由于an＝2n，bn＝ n＋1 ， （n＋2）2a2n 1n＋11?1?2－则bn＝22. 2＝4n（n＋2）16?n（n＋2）?1111111 Tn＝?1－32＋22－42＋32－52＋…＋（n－1）2－ 16? 111?2＋2－（n＋1）n（n＋2）2? 1111115 1＋2?＝. ＝?1＋22－（n＋1）2－（n＋2）2? 18． 小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点， 再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图1－5)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队． (1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X的分布列和数学期望． 图1－5 解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C28＝28种，X＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形； 82 所以小波参加学校合唱团的概率为P(X＝0)＝＝. 287 (2)两向量数量积X的所有可能取值为－2，－1，0，1，X＝－2时，有2种情形；X＝1时，有8种情形；X＝－1时，有10种情形． 所以X的分布列为 ? ?? 0 2 71 2 7 X P －2 1 14－1 5 1415223 EX＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＝－. 14147714 19．， 如图1－6所示，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中3 点，△DAB≌△DCB，EA＝EB＝AB＝1，PA＝，联结CE并延长交AD于F. 2 (1)求证：AD⊥平面CFG； (2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值． 图1－6 解：(1)证明：在△ABD中，因为E是BD中点，所以EA＝EB＝ED＝AB＝1. ππ 故∠BAD＝，∠ABE＝∠AEB＝. 23 因为△DAB≌△DCB，所以△EAB≌△ECB， π 从而有∠FED＝∠BEC＝∠AEB＝， 3所以∠FED＝∠FEA，故EF⊥AD，AF＝FD， 又因为PG＝GD，所以FG∥PA. 又PA⊥平面ABCD， 所以GF⊥AD，故AD⊥平面CFG. 33 (2)以点A为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C?，，0?，D(0， ?22?3，0)， 31333333→→→ P0，0，，故BC＝?，，0?，CP＝?－，－，?，CD＝?－，，0?. 222??22??2?22? 3 ＋y＝0，?122 ＝(1，y，z)，则? 333－－y＋?222z＝0， 1 1 1 1 1 设平面BCP的法向量1 ?y＝－33，解得?即 2?z＝3，11 1＝ ?1，－3，2?. 33?? 设平面DCP的法向量2＝(1，y2，z2)，