高中数学竞赛讲义（六） ──三角函数
一、基础知识 定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α
|=,其中r是圆的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为
r,则正弦函数sinα=,余弦函数cosα=,正切函数tanα=，余切函数cotα=，正割
函数secα=,余割函数cscα=
定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tanα=,sinα=，cosα
=；商数关系：tanα=；乘积关系：tanα×cosα=sinα,cotα×
sinα=cosα；平方关系：sin2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2α, cot2α+1=csc2α.
定理2 诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;（Ⅱ）sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; （Ⅲ）sin(π-
α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; （Ⅳ）sin=cosα,
cos=sinα, tan=cotα（奇变偶不变，符号看象限）。
定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。单调区间：在区
间上为增函数，在区间上为减函数，最小正周
期为2. 奇偶数. 有界性：当且仅当x=2kx+时，y取最大值1，当且仅当x=3k-时, y
取最小值-1。对称性：直线x=k+均为其对称轴，点（k, 0）均为其对称中心，值域为
[-1，1]。这里k∈Z.
定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。单调区间：在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对
称性：直线x=kπ均为其对称轴，点均为其对称中心。有界性：当且仅当x=2kπ
时，y取最大值1；当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k∈Z.
定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xkπ+)在开区间(kπ-, kπ+)上
为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+称中心。
定理6 两角和与差的基本关系式：cos(α
β)=cosαcosβ
，0）均为其对
sinαsinβ,sin(αβ)=sin
αcosβcosαsinβ; tan(αβ)=
定理7 和差化积与积化和差公式:
sinα+sinβ=2sincos,sinα-sinβ=2sincos,
cosα+cosβ=2coscos, cosα-cosβ=-2sinsin,
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].
定理8 倍角公式:sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,
tan2α=
定理9 半角公式:sin=,cos=,
tan==
定理10 万能公式: , ,
定理11 辅助角公式：如果a, b是实数且a2+b2
0，则取始边在x轴正半轴，终边经过
点(a, b)的一个角为β，则sinβ=
asinα+bcosα=
sin(α+β).
,cosβ=，对任意的角α.
定理12 正弦定理：在任意△ABC中有，其中a, b, c分别
是角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。
定理13 余弦定理：在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。
定理14 图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得
y=sin(x+)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=sin()
的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(
x+
)(
>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，
x+
)(
,
>0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移
得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(
个单位得到y=Asinx的图象。
定义4 函数y=sinx的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x∈[-1, 1])，
函数y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数
y=tanx的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0,
π])的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x∈[-∞, +∞]).
定理15 三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}。方程cosx=a的解集是{x|x=2kx
arccosa, k∈Z}. 如果a∈R，方程tanx=a的解集是
{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.
定理16 若，则sinx 二、方法与例题 1．结合图象解题。 例1 求方程sinx=lg|x|的解的个数。 【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lg|x|的图象（见图），由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。 2．三角函数性质的应用。 例2 设x∈(0, π), 试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小。 【解】 若，则cosx≤1且cosx>-1，所以cos， 所以sin(cosx) ≤0,又0 若，则因为sinx+cosx=(sinxcos+sin cosx)=sin(x+)≤<， 所以0 所以cos(sinx)>cos(-cosx)=sin(cosx). 综上，当x∈(0,π)时，总有cos(sinx) 例3 已知α，β为锐角，且x·（α+β-）>0，求证： 【证明】 若α+β>，则x>0，由α>-β>0得cosα 所以0<<1，又sinα>sin(-β)=cosβ, 所以0<<1， 所以 若α+β<，则x<0，由0<α<-β<得cosα>cos(-β)=sinβ>0, 所以>1。又0 所以，得证。 注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。 3．最小正周期的确定。 例4 求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。 【解】 首先，T=2π是函数的周期（事实上，因为cos(-x)=cosx，所以co|x|=cosx）；其 次，当且仅当x=kπ+时，y=0（因为|2cosx|≤2<π）, sin(2cosπ)，所以T0=2π。 所以若最小正周期为T0，则T0=mπ, m∈N+，又sin(2cos0)=sin2 4．三角最值问题。 例5 已知函数y=sinx+ ，求函数的最大值与最小值。 【解法一】 令sinx=, 则有y= 因为，所以， 所以≤1， 所以当 ，即x=2kπ- (k∈Z)时，ymin=0， 当，即x=2kπ+ (k∈Z)时，ymax=2.