九年级数学上学期练习题
（一）动手问题
例1．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，?得到的图形是（）
(第1题)(第2题)
例2．把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上，那么∠EMF的度数是（） A．85°B．90°C．95°D．100°
例3．（河南省）如图（1）所示，用形状相同、大小不等的三块直角三角形木板，恰好能拼成如图（2）所示的四边形ABCD，若AE=4，CE=3BF，?那么这个四边形的面积是___________．
（二）证明问题
例4．（浙江省）如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，
得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）
（图1）（图2）（图3）
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决。
（1）将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使
点B与点F重合，请你求出平移的距离；
（2）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5
的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度； （3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH﹦DH
（图4）（图5）（图6） 解：
（三）探索性问题
例5．（青岛）提出问题：如图①，在四边形ABCD中，
P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？
探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：
（1）当AP＝1AD时（如图②）：
2APD∵AP＝1AD，△ABP和△ABD的高相等，
2∴S△ABP＝S△ABD．
21B图①C∵PD＝AD－AP＝1AD，△CDP和△CDA的高相等，
2∴S△CDP＝1S△CDA．
2APD∴S△PBC＝S四边形ABCD－S△ABP－S△CDP ＝S四边形ABCD－1S△ABD－1S△CDA
22B图②C＝S四边形ABCD－1(S四边形ABCD－S△DBC)－1(S四边形ABCD－
22S△ABC)
＝1S△DBC＋1S△ABC．
22（2）当AP＝1AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之
3间的关系，写出求解过程；
（3）当AP＝1AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的
6关系式为：________________；
（4）一般地，当AP＝1AD（n表示正整数）时，探求
nS△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；
问题解决：当AP＝mAD（0≤m≤1）时，S△PBC与S△ABC
nnD和S△DBC之间的关系式为：___________． 三、巩固训练
BAPC1．（福州）如图，小亮拿一张矩形纸图（1），沿虚线对折一次得图（2），下将对角两顶点重合折叠得图（3）。按图（4）沿折痕中点与重合顶点的连线剪开，得到三个图形，这三个图形分别是（）
A．都是等腰梯形B．都是等边三角形
C．两个直角三角形，一个等腰三角形D．两个直角三角形，一个等腰梯形
2．如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（）
A．1cm2B．ncm2C．n?1cm2D．(1)ncm2
44443．右图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是 .
4.（连云港市）如图1，点C将线段AB分成两部分，如果．
ACBC?ABAC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．
某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为
S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果
S1S2?SS1，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如AB于点E，
图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线． 请你说明理由． （4）如图4，点E是
EF∥AD，交DCABCD的边AB的黄金分割点，过点E作
ABCD的黄金分割
ABCD各
于点F，显然直线EF是
线．请你画一条边黄金分割点．
ABCD的黄金分割线，使它不经过