2016届高三年级数学热身卷（理科）
命题人：林青 黄义生 2016.6.1
一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)。
1．已知R为实数集，集合M??0,2?，N??x?y?x?1?，则M?(CRN)=（ ）
A.{x|0≤x＜1} B.{x|-2≤x＜1} C.{x|0≤x≤2} D.{x|x＜1}
2．若复数z?sin??35?(cos??45)i是纯虚数，则tan?的值为( ) A．
34
B． 43 C．?34 D．?43
3．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于( )cm3
A．4+
23? B．4+3232? C．6+3? D．6+2? 4．命题?m?[0,1]，则x?1x?2m的否定形式是( )
A. ?m?[0,1]，则x?1x?2m
B.?m?[0,1]，则x?1x?2m
C. ?m?(??,0)?(1,??)，则x?1x?2m
D.?m?[0,1]，则x?1x?2m
5．已知数列{aan}中满足a1?15，n?1?an?2，则annn的最小值为( )
A．10 B．215?1
C．9 D．274
6．某年级有1000名学生，随机编号为0001,0002,?,1000， 现在系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了， 则下列编号也被抽到的是 （ ） A．0116 B．0927 C．0834 D．0726
7．执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2， 则输出P的值为（ ） A．2 B．3 C． 4 D． 5
?x?4y??38．已知x，y满足??3x?5y?25，若不等式ax?y?1恒成立，则实数a的取值范围
??x?1是.( )
A. ??3??11??5，????
B. ??5，????
C. ??27??5，????
D. ?2，???
9．已知函数xA.??e2,???f(x)?a(x?1)?e无零点，则实数a的取值范围是（ ）
B.(?e2,0)
C.[?e2,0)
D.(?e2,0]
．设双曲线x2y2102a2?b2?1(a?0,b?0)的渐近线与抛物线y?x?1相切，则该双曲线的
离心率为（
）
A． 3
B．
6
C．
5 D． 3
11． 点A,B,C,D在同一个球的球面上，AB?BC?2,AC?22，若四面体ABCD体积的最大值为
43，则该球的表面积为（ ） A． 6? B．7? C．8? D．9?
12． 已知f(x)?x3?3x?3?m(m?0)，在区间[0,2]上存在三个不同的实数a,b,c,使得以f(a),f(b),f(c) 为边长的三角形是构成直角三角形，则m的取值范围是（ ）．
A．m?3?42
B．m?22?1 C．0?m?22?1
D．0?m?3?42 第Ⅱ卷
二．填空题：本大题共4小题，每小题513. 设向量???a,b 均为单位向量，且?a??分，共b??20a?2?分，把答案填在答题卡的相应位置。
b，则a与b夹角为
14．已知m?0,n?0,若直线(m?1)x?(n?1)y?2?0与圆(x?1)2?(y?1)2?1相切,
则m?n的取值范围是________．
n15.在二项式??1?2?2x???的展开式中，前3项的二项式系数之和等于79，则展开式中x4的系
数为 。
16．已知正项数列{a2n}的前n项和为Sn，对?n?N?有2Sn＝an＋an．令
b1n＝ana，设{bn}的前n项和为Tn，则在T1,T2,T3???T100中有理数的个数为
n＋1＋an＋1an_______个．
三、解答题（共70分） 17．（本题满分12分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若sinA,sinB,sinC成等差数列，且sinB?sinAcosC?1csinC. （1）求角A； （2）求. x2y220．（本题满分12分）已知椭圆C：2?2=1（a>0，b>0）的两焦点与短轴的一个端点的
ab连线构成等边三角形，直线x+y+22一1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴
2b 18．（本题满分12分） 心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学 （男30女20）， 给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）
（I）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（II）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率． （III）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、 乙两女生被抽到的人数为X， 求X的分布列及数学期望E?X?． 附表及公式
19．（本题满分12分）如图，等腰梯形ABCD的底角A等于60?，其外接圆圆心O在边AD上，直角梯形PDAQ垂直于圆O所在平面，?QAD??PDA?90?,且AD?2AQ?4 （1）证明：平面ABQ?平面PBD； （2）若二面角D?PB?C的平面角等于45?，
求多面体PQABCD的体积。
长为半径的圆相切． (I)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称．设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2=k3k4． (i)求k1k2的值： (ii)求OB2+ OC2的值． 21．（本题满分12分）
已知函数f?x??2ex??x?a?2`?3,a?R．
（Ⅰ）若函数y?f?x?的图象在x?0处的切线与x轴平行，求a的值； （Ⅱ）若x?0时，f?x??0，求a的取值范围.
请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（10分）选修4—1几何证明选讲
如图,已知直线PA与圆O切于点A，直线PB过圆心O，且与圆O交于点B,C(PB＜PC)，若PA?3,PB?1.
（1）求sin?PAB的大小； （2）若?BAC的平分线与BC交于点D，与圆O的另一个交点为E，求AD?DE.
23．（10分）选修4—4坐标系与参数方程
以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
?sin(????x?cos?4)?2，曲线C的参数方程为??y?2sin?(其中?为参数).
（1）求曲线C的中心到直线l的距离；
（2）求直线m:y?3x与曲线C交点的极坐标(?,?)(0≤??2?). 24．（10分）选修4—5不等式选讲
已知函数f(x)?x2x?1?2. （1）给出1,2,?2,2015四个数，试分析f(x)的值可以等于哪个数； （2）若f(x)≥|m?1|?|m?2|对任意x?(1,??)恒成立，求m的取值范围.
2016届高三年级数学热身卷答题卡（理科）
一、选择题（每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题（每小题5分，共20分） 13、 14、 15、
16、 三、解答题（共6个小题，共70分） 17、（12分） 18、（12分）
19、（12分） 20、（12分）
21、（12分）
选做题
22□ 23□ 24□（10分）
22题图
2016届高三年级数学（理科）热身卷答案
1-5 ACDDD 6-10 BCCDC 11-12 DD 13. ?3 14. ??2?22,??? 15. 49516 16. 9
17．【解析】（1）由sinB?sinAcosC?1sinC可得sin(A?C)?sinAcosC?122sinC， 由sin(A?C)?sinAcosC?cosAsinC可得cosAsinC??12sinC， 又sinC?0，所以cosA??1，所以A?2?23；（6分） （2）由sinA,sinB,sinC成等差数列及正弦定理可得b?a?c2，所以a?2b?c ① 由余弦定理可得cosA?b2?c2?a22bc??12，所以b2?c2?a2??bc ②把①代入②并整理可得b(5c?3b)?0，又b?0,∴5c?3b?0，即c3b?5.（12分）
18．解：(Ⅰ)由表中数据得的观测值
所以根据统计有
的把握认为视觉和空间能力与性别有关.）………3分
(Ⅱ)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为分钟，则基本事件满足的区域为
(如图所示) 设事件为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为
由几何概型
即乙比甲先解答完的概率
.
(Ⅲ)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有
种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有
种；恰有一人
被抽到有
种；两人都被抽到有
种
1 X可能取值为， ， 的分布列为：
P z19．【解析】 解法一：（Ⅰ）证明：由题可知AB?BD，1分
Q∵梯形PQAD垂直于圆O所在的平面, ?PDA?90?，
C∴PD?平面ABCD , ∴AB?PD， 2分 B又∵BD?PD?D,?AB?平面PBD， 3分 AODyx∵AB?平面ABQ，∴平面ABQ?平面PBD ． ·
························· 4分 （Ⅱ）如图，过点B作射线BZ∥DP,BA，BD，BZ两两垂直.
以B为原点, BA，BD，BZ所在直线分别为x,y,z轴建立坐标系,
设PD?h，则B(0,0,0),D(0,23,0),P(0,23,h),C(?1,3,0),
从而???BC??(?1，3，0),???BP??(0,23,h)， 5分 设面PBC的一个法向量为?n?(x，，yz)???????，
??n???BC?????0,即???x?3y?0,?23················?n?BP?0,?取y?1，则?n?(3，1，?)， ·
······ 7分 ?23y?hz?0,h由（1）已证BA?平面PBD,则平面PBD的一个法向量为??BA???(2，0，0)， ·
··········· 8分 ?cos???????n,???BA???n??BAn???BA??23?224?122，解得h?6， ····························· 9分 h2多面体PQABCD是由三棱锥P?BCD和四棱锥B?ADPQ构成的组合体，
V12?643PB?ADPQ?3?2?4?3?22?3， ················································z··· 11分 V1P?BCD?3?3?6?2，
QBC∴多面体PQABCD的体积V?32?433. 12分 AODy解法二: （Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）如图，在平面ABCD中过点O作AD的垂线OX， x过O作射线OZ∥DP , OX,OD,OZ 两两垂直.
以O为原点, OX,OD,OZ所在直线分别为x，y，z 轴建立坐标系,
设PD?h,则B(?3,?1,0),D(0,2,0),P(0,2,h),C(从而????3,1,0),
BC??(0，2，0),???BP??(3,3,h)， 5分 设面PBC的法向量为?n?(x，，yz)，
?????????n???BC?????0,即???2y?0,取x?1则?n?(1，，0?3?n?BP?0.??3x?3y?hz?0,h)， ·
························ 7分 平面 PBD 的法向量为 ??BA???(3，?························································· 8分 ?cos??n,???BA????n?????1，0), ·
BA?3Pn???BA???221?32,解得h?6, ···································· 9分 h2下同解法一.解法三: （Ⅰ）同解法一. QF（Ⅱ）取BD中点E,过E作EF垂直于PB交线段PB于点F, BC连接CE,CF, 5分 可证CE?平面PBD,∴PB?CE, EAOD又∵EF?PB,EF?CE?E, ∴PB?平面CEF,PB?CF,····························· 6分 ∴?CFE为二面角D?PB?C的平面角, 7分 即?CFE?45°，EF?CE?1, 由Rt?BEF∽Rt?PBD，可求得PD?6. 9分 以下同解法一. 20． 解：（Ⅰ）设椭圆C的右焦点F22(c,0)，则c2?a2?b(c?0) 由题意，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长
为半径的圆的方程为(x?c)2?y2?a2， ∴圆心到直线x?y?22?1?0的距离 d?c?22?1D 2?a………………1分
C ∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形， F1 O F2 x ∴b?3c,a?2c， 代入（）式得c?1,b?3，a?2，
22B 故所求椭圆方程为
x4?y3?1………………………………………4分 （Ⅱ）（i）设B(xx
1,y1),C(2,y2)，则D(?x1,?y1)， 223 于是ky?y(4?x2?3(4?x2212)1)1y21k2?2x??y1?y?y22?x2?44x22??3--（8分） 2?x1x2?x1x12?x14 （ii）方法一由（i）知，k333k4?k1k2??4，故y1y2??4x1x2．
所以，9x22223232161x2?y1y2?4(4?x2)?4(4?x1) 即x2222221x2?16?4(x21?x2)?x21x2，所以，x1?x2?4．
x22222222 又2?(1y1x2y2x4?3)?(4?1?x23)?4?y1?y223，故y21?y2?3． 所以，OB2+OC2 ?OB2?OC2?x2221?y21?x2?y2?7．------------------（12分）
[来 由（i）知，k3x2y2方法二3k4?k1k2??4．将直线y?k3x方程代入椭圆4?3?1中，
得x2121?3?4k2．同理，x2122?33?4k2． 4所以，x2?x2?1212121216k23123?4k2?2?2??12??4． 33?4k43?4k33?4(?3k)23?4k233?4k2343下同方法一．------------------（12分）
21． (1)?y?f(x)在x?0处的切线与x轴平行，?f'(0)?2(a?1)?0，解得a??1.
经检验a??1符合要求。（Ⅱ）f'(x)?2(ex?x?a)，令g(x)?2(ex?x?a)，则
g'(x)?2(ex?1)?0，所以g(x)?2(ex?x?a)在[0,??)内单调递增，g(0)?2(1?a)
（i)当2(a?1)?0，即f'(x)?2(ex?x?a)?f'(0)?0
f(x)在[0,??)内单调的增，要想f(x)?0，只需要f(0)?5?a2?0，
解得?5?a?5，从而?1?a?5
（ii)当2(a?1)?0即a??1时，由g(x)?2(ex?x?a)在[0,??)内单调递增知，存在唯一
x0使得g(x0)?2(ex0?x0?a)=0，有ex0?x0?a.
?x?[0,x0),f'(x)?0,f(x)单调递减；?x?[x0,??),f'(x)?0,f(x)单调递增
f(x)min?f(xx0?)?2e?(x0?a)2?3?2ex0?(ex0)2?3??(ex0?1)(ex0?3)
只需f(x)min?0，即ex0?3，解得0?x0?ln3
又a?xx0?e0，得ln3?3?a??1，综上，ln3?3?a?5 22．【解析】（1）∵PA是圆O的切线，∴由弦切角定理可得?PAB??ACB.
又?APB??CPA,∴△ABP∽△CAP∴
ABAC?BPAP?13，即AC?3AB， 故BC?AC2?AB2?10AB，又BC为圆O的直径，∴?CAB?90? ∴sin?ACB?ABBC=1010，又?PAB??ACB,∴sin?PAB?1010；（6分）
（2）由切割线定理可得PA2?PB?PC，即9?1?PC,∴PC?9，故BC?8，由角平分线性质可
得
CDDB?ACAB?3,∴CD?6,BD?2，由相交弦定理可得AD?DE?CD?DB?12.（10分） 23．【解析】（1）直线l的方程可化为22?(sin??cos?)?2，即?sin???cos??2， 化成直角坐标方程为：x?y?2?0.曲线C的参数方程化成普通方程为：x?y224?1.
显然曲线C是椭圆，中心为O，到直线l的距离为22?2；（5分） ?2?27?27（2）由??x2?y4?1可得??x??7?x???或?7， ?y?3x?221???221?y??7??y?7则直线m与曲线C的交点分别为A(?277,?2217),B(277,2217)， 而|OA|?|OB|?47477，故直线与m与曲线C的交点的极坐标分别为(7,?3),(477,4?3).（10分）
24．（1）
f(x)?x2x2?1?1111x?1??x?1??2x?1?(x?1)?x?1?2当x?1时，f(x)?(x?1)?≥2?2?4； x?1x?1（2分）当x?1时，f(x)??[(1?x)?11?x]?2≤?2?2?0. 综上可知，f(x)的值域为(??,0]?[4,??)，故在所给四个数中，f(x)的值只有可能为-2和2015.
（2）由（1）可知，f(x)在(1,??)上的最小值为4，由条件只需|m?1|?|m?2|≤4.
?m?1?m?2解之得??17?1或??1≤m≤2或??7，故?≤m≤,即实数17?m≥?2?1≤4??m≤222m的取值范围是[?2,2].