14.椭圆中的弦长问题
教学目标 班级____姓名________ 1.掌握直线与椭圆的位置关系. 2.能熟练应用弦长公式求弦长. 3.掌握中点弦问题. 教学过程 一、弦长公式.
x2y2设直线方程y?kx?m、椭圆方程2?2?1(a?0,b?0,a?b)，直线与椭圆两交点为
abA(x1,y1)，B(x2,y2). 则
22（1）|AB|?1?k?(x1?x2)?4x1x2（联立方程，消y，应用韦达定理）；
（2）|AB|?1?12?(y?y)?4y1y2（联立方程，消x，应用韦达定理）. 122kx2y2?1，x?y?1?0与椭圆C交于不同两点M、例1：已知椭圆C：?直线l：N，求|MN|.
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x2y2??1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为练1：过椭圆54原点，（1）求|AB|的长；（2）求?AOB的面积.
二、中点弦问题.
1.题型特征：已知直线与椭圆相交，且知道弦的中点（或与弦的中点有关）. 2.常用结论：
（1）韦达定理：x1?x2??（2）中点公式：x中?cb，x1?x2?；
aax1?x2； 222（3）弦长公式：|AB|?1?k?(x1?x2)?4x1x2
11x2?y2?1，直线l过椭圆内一点P(,)，且直线与椭圆相交所得弦被P例2：已知椭圆
222平分.求直线l的方程.
练1：已知椭圆ax2?by2?1与直线x?y?1?0交于A、B两点，|AB|?22，AB的中
点M与椭圆中心连线的斜率是
2，求a，b的值. 2x2y2??1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点. 作业：已知椭圆
3691时，求线段AB的长度； 2（2）当P点恰好为线段AB的中点时，求直线l的方程.
（1）当直线l斜率为