重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页
???(x3?az2)dydz?(y3?ax2)dzdx?(z3?ay2)dxdy
S
?a0dy?me(0ya?x)(f)x?dx?ax0m(?a)xdx?e()f?x?d(y?0aa(ma)x)a?xe( )f.xdx????3(x2?y2?z2)dv???ay2dxdy
?D20. 设在半平面x?0内有力F??a0k?3?d??2d??r2?r2sin?dr?a?d??r2sin2??rdr
00002??a2??3(xi?yj)构成力场,其中k为常
数,??x2?y2.证明:在此力场中场力所作的功与所取路径无关. 知识点:变力沿曲线作功,难度等级:1 分析: 验证积分与路径无关. 证明 场力所作的功W??k?Lxdx?ydy,其中L为力场内任一闭2232(x?y)61??a5??a554
295??a.20
五、 证明题(每小题6分,共12分)
19. 证明?
?a0dy?em(a?x)f(x)dx??(a?x)em(a?x)f(x)dx.
00ya曲线段.
??Q??y3xy??2??; 2252?x?x?(x?y2)32?(x?y)???P??x3xy??2??. 232?2252?y?y?(x?y)?(x?y)知识点:二重积分交换积分次序,难度等级:1
分析: 将二次积分化为定积分,注意到被积函数不含变量y,先对y积分,故将积分区域D由y型区域化为x型区域计算可得证明结果
证明: 积分区域为
D?{(x,y)|0?y?a,0?x?y},
并且D又可表示为
D?{(x,y)|0?x?a,x?y?a}. 所以
可见,
?P?Q?,且P,Q在半平面x?0内有连续偏导数,所以W?0.即?y?x场力作用与路径无关.
六、应用题 (每小题8分,共16分)
21. 已知年复利为0.05,现存a 万元,第一年取出19万元,第二年取出28万元,…,第n年取出10?9n万元,问a至少为多少时,可以一直取下去？
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知识点:幂级数的和函数,难度等级:2
解:设An为用于第n年提取(10?n9万)元的贴现值,则
An?(1?r)?n(10?9n). 故
???10?9n19nnA??An???10????200?9?. nnnnn?1n?1(1?r)n?1(1?r)n?1(1?r)n?1(1?r)??ln(T?30)??kt?lnc.
dT??kdt, T?30故有
T?30?ce?kt.
由初始条件:T|t?0?100,T|t?15?70. 代入可解得c?70,k?17ln,即有 154T?30?70e?(17ln)t154设S(x)??nxn,x?(?1,1), 则
n?1?.
xxS(x)?x(?xn)??x()??,x?(?1,1). 21?x(1?x)n?1?
当T?40时,由上式可解得
t?15ln7?52(分). 7ln4所以S(11)?S()?420万元,故A?200?9?420?3980万元,即至1?r1.05少应存入3980万元.
22．按照牛顿冷却定律:物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比.已知空气温度为30?,物体在15分钟内从100?冷却到70?时,求物体冷却到40?时所需要的时间？
知识点:微分方程数学模型,难度等级:2
分析:根据冷却定律建立微分方程初值问题并求解. 解:设在时间t时,物体的温度为T?C. 根据冷却定律列出方程
dT??k(T?30). dt分离变量,并积分得
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