书本p59习10
.设a1,a2,?,an是一组n维向量，已知n维单位坐标向量e1,e2,?en能由它们线性表示，证明a1,a2,?,an线性无关。
证明：由于任意n维向量均可由单位坐标向量e1,e2,?en线性表示，所以向量组a1,a2,?,an能由e1,e2,?en线性表示，又由题中条件e1,e2,?en能由a1,a2,?,an线性
表示，于是a1,a2,?,an与e1,e2,?en等价，因此它们的秩相等，又向量组e1,e2,?en的秩为n，所以向量组a1,a2,?,an的秩也为n，于是a1,a2,?,an线性无关。
与书p137习6及练习八、一（4）相似题.
设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知?1，?2，?3是它的三个解向量，且 ?2??1?????32???，?2+?3=?，求该方程组的通解。 ?1=?4??3?????5???4?解：由四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，知对应齐次线性方程组的基础解系只有?3???4?一个解向量。由119页及129页性质知2?1-（?2+?3）=（?1-?2）+（?1-?3）=?是对?5????6?应齐次线性方程组的一个解，由于其不等于0，于是它是一个基础解系，因此原非齐次线性?2??3?????34方程组的通解为??+k??，其中k为任意实数。
?4??5??????5??6?书p138习10
设?是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，?1，?2,?,?n?r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明：
（1）?，?1，?2,?,?n?r线性无关；（2）?，?+?1，。。。，?+?n-r线性无关。 证明：（1）由?是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，?1，?2,?,?n?r是对应的齐次线
******性方程组的一个基础解系，于是有A?*=b， A?i=0。设存在一组数k，k1，k2,?kn?r使k?*+k1?1+。。。+kn-r?n-r=0，两边同时左乘A，则有kA?*+k1A?1+。。。+kn-rA?n-r=0, 即k A?*=kb=0，由b?0知k=0，于是k1?1+。。。+kn-r?n-r=0，由?1，?2,?,?n?r线性无关知?1=?2????n?r=0，即?*，?1，?2,?,?n?r线性无关；
（2）设存在一组数k，k1，k2,?kn?r使k?*+k1（?*??1）+。。。+kn-r（?*??n-r）=0，即（k+k1+k2???kn?r）?*+k1?1+。。。+kn-r?n-r=0，两边同时左乘A，则有 （k+k1+k2???kn?r）A?*+k1A?1+。。。+kn-rA?n-r=0，可知k+k1+k2???kn?r=0， 于是k1?1+。。。+kn-r?n-r=0，由?1，?2,?,?n?r线性无关知?1=?2????n?r=0，从而k=0，于是?*，?*+?1，。。。，?*+?n-r线性无关。
书p175习16（3）.证明：由二次型性质，知存在正交矩阵P，正交变换x=Py把
??1TT?1T?二次型化为f?xAx?y（PAP）y?y??????y=?1y1????nyn，其中，??n??22?1，?，?n为A的特征值。由x?1，知y?1，即y1???yn=1，因此f的最大值为
矩阵A的最大特征值。
补充题
1.证明R(A)=1的充分必要条件是存在非零列向量??1?0PAQ=?????000?0????0??1????0?0???1=?????????0?m?n??0?m?1及非零行向量b,使A=?b.
TT证明:必要性:设A是m?n矩阵,由R(A)=1,则存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q使
0?0?1?n,则有
A=P?1?1????0??1??????0???m?10?0?1?nQ?1,令?=P?1?1????0?Tb及=?1??????0???m?10?0?1?nQ?1,则?和bT分别为非零列向量和非零行向量; ?a1??a2充分性:设?=????a?m???T和=?b1b????b2?Tbn?分别是非零列向量及非零行向量,由A=?b及补充性质R（AB）?min{R(A),R(B)},知 ?a1b1?a2b1R(A)?1,又A=?bT=?????amb1a1b2a2b2?amb2????a1bn??a2bn?,ab不可能全为零,于是
ij???ambn?R(A)=1.
2.设b关。
1?a1?a2,b2?a2?a3,b3?a3?a4,b4?a4?a1,证明向量组b1,b2,b3,b4线性相
?b1??1???b20??=?证明：由于
?b3??0????b4??1110001100??0?1??1??a1??1???a20??且矩阵??a3??0????a4??1110001100??0?的行列式等于0，于是其秩小1??1?于4，因此向量组b1,b2,b3,b4的秩也小于4，于是b1,b2,b3,b4线性相关。
3. 设b1?a1,b2?a1?a2,?,br?a1?a2???ar，且向量组a1,a2,?,ar线性无关，
证明向量组b1,b2,?,br线性无关。 ?b1??1???b21证明:??=??????????br??101?1????0??0????1??a1??1???a21??,由??????????ar??101?1????0??0?可逆及补充性质知b,b,?,b线性无
12r???1?关。
4.设a1证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n维向量均,a2,?,an是一组n维向量，
可由它们线性表示。
证明：必要性：若a1,a2,?,an线性无关，则对于任一n维向量a，向量组a1,a2,?,an，a线性相关（p50页推论），于是a可由a1,a2,?,an线性表示；
充分性：若任一n维向量均可由a1,a2,?,an线性表示，则单位向量组e1,e2,?en能由它们线性表示，又a1,a2,?,an能由e1,e2,?en线性表示，于是a1,a2,?,an与e1,e2,?en等
价，它们的秩相等，所以a1,a2,?,an线性无关.
5.设向量组 a1且a1?0,证明存在某个向量ak（2?k?m)，使ak能,a2,?,am线性相关，
由a1,a2,?,ak-1线性表示。
证明：反证法。假设对于任意向量ak（2?k?m)，ak都不能由a1,a2,?,ak-1线性表示。即a2不能由a1线性表示，亦即方程a2=x1a1无解，由a1?0,知R（a1）=1，于是必有R(a1,a2)=2,即a1，a2线性无关；同理，a3不能由a1，a2线性表示，亦即方程
a3=x1a1+x2a2无解，由R(a1,a2)=2,知R（a1，a2，a3）=3，依此类推，知am不能由
a1,a2,?,am-1线性表示，则有R（a1,a2,?,am）=m，即a1,a2,?,am线性无关，与已知
它们线性相关矛盾，于是假设错误，即必存在某个向量ak（2?k?m)，使ak能由a1,a2,?,ak-1线性表示。
6.设向量组
B：b1,b2,?br能由向量组A：a1,a2,?,as线性表示为（b1,b2,?br）=
（a1,a2,?,as）K，其中K为s?r矩阵，且A组线性无关，证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)=r. ?k11?k21?证明：设K=????ks1k12k22?ks2????k1r??k2r?，由（b,b,?b）=（a,a,?,a）K则有
12s12r???ksr??b1?k11a1?k21a2???ks1as??b2?k12a1?k22a2???ks2as????br?k1ra1?k2ra2???ksras?，设有一组数?1,?2,??r，使
?1b1+?2b2????rbr=0，即
?1(k11a1?k21a2???ks1as)+?2(k12a1?k22a2???ks2as)+。。。+ ?r(k1ra1?k2ra2???ksras)=0，整理得 (?1k11??2k12????rk1r)a1+
(?1k21??2k22????rk2r)a2+
。。。。。。+
(?1ks1??2ks2????rksr)as?0
??1k11????rk1r?0???由a1,a2,?,as线性无关得?
??k????k?0rsr?1s1B组线性无关的充要条件是该方程组只有零解，而该方程组只有零解的充分必要条件是系数?k11?k21矩阵K=?????ks1k12k22?ks2????k1r??k2r?的秩R（K）=r。 ???ksr?37.已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A22x?3Ax-Ax，且向量组x, Ax，Ax线性无
关。（1）记P=（x, Ax，A2x），求3阶矩阵B，使AP=PB；（2）求A。
解：由A3x?3Ax-A2x有A（A2x+Ax-3x）=0,假设A?0，则A可逆，于是有
22Ax+Ax-3x=0，与条件x, Ax，Ax线性无关 矛盾，假设错误，即有A=0。
由向量组x, Ax，A2x线性无关知P可逆，再由AP=PB知B=P?1AP，则B唯一。设?a11?B=a21???a31a12a22a32a13??a11??a23，则Pa21???a33???a31a12a22a32a12a22a32a12a22a32a13??a23=AP，即 ?a33???a11?（x, Ax，A2x）a21???a31?a11?（x, Ax，A2x）a21???a31a13??3a23=A（x, Ax，A2x），由Ax?3Ax-A2x有 ?a33??a13??a23=（Ax，A2x,A3x）=（Ax，A2x,3Ax-A2x），由矩?a33??a12a22a32a13??0??a23=1??a33????00010??3 ??1???a11?阵乘法及x, Ax，A2x线性无关可知a21???a318.设矩阵
A=（a1，a2，a3，a4），其中a2，a3，a4线性无关，a1=2a2-a3，向量
b=a1+a2+a3+a4,求方程Ax=b的通解。
解：由a2，a3，a4线性无关，a1=2a2-a3知R（A）=3，于是方程组Ax=0的基础解系只