正余弦定理常见解题类型
1． 解三角形
正弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：①已知两角和任一边、求其他两边和一角；②已知两边和其中一边的对角、求另一边的对角及其他的边和角．
余弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：①已知三边、求三个角；②已知两边和它们的夹角、求第三边和其他两个角．
例1 已知在△ABC中、?A?45，a?2，c?6、解此三角形． 解：由余弦定理得b2?(6)2?26bcos45?4、
从而有b?3?1．
又(6)2?b2?22?2?2bcosC、 1得cosC??、?C?60或?C?120．
2??B?75或?B?15．
因此、b?3?1、?C?60、?B?75 或b?3?1、?C?120、?B?15．
注：此题运用正弦定理来做过程会更简便、同学们不妨试着做一做．
2． 判断三角形的形状
利用正余弦定理判断三角形的形状主要是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或 边的关系、一般的、利用正弦定理的公式a?2RsinA，b?2RsinB，c?2RsinC、可将边转化为角的三角函数关系、然后利用三角函数恒等式进行化简、其中往往用到三角形内角和定理：b2?c2?a2a2?c2?b2，cosB?、 A?B?C??；利用余弦定理公式cosA?2bc2aca2?b2?c2cosC?、可将有关三角形中的角的余弦转化为边的关系、然后充分利用代数知识
2ab来解决问题．
例2 在△ABC中、若b2sin2C?c2sin2B?2bccosBcosC、判定三角形的形状． 解：由正弦定理
abc???2R、为△ABC外接圆的半径、 sinAsinBsinC可将原式化为8R2sin2Bsin2C?8R2sinBsinCcosBcosC、
∵sinBsinC?0、
?sinBsinC?cosBcosC、即cos(B?C)?0．
?B?C?90、即A?90、故△ABC为直角三角形．
3． 求三角形中边或角的范围 例3 在△ABC中、若?C?3?B、求
c的取值范围． b解： ?A??B??C??、??A???4?B．
?0??B??1．可得0?sin2B?． 42csinCsin3B又∵???3?4sin2B、
bsinBsinB?1?3?4sin2B?3．故1?c?3． b点评：此题的解答容易忽视隐含条件?B的范围、从而导致结果错误．因此、解此类问题应注意挖掘一切隐含条件．
4． 三角形中的恒等式证明
根据所证等式的结构、可以利用正、余弦定理化角为边或角的关系证得等式． 例4 在△ABC中、若a2?b(b?c)、求证：A?2B． a2?c2?b2bc?c2b?ca???证明：∵cosB?、
2ac2ac2a2ba2a2?2b2b2?bc?2b2c?b?cos2B?2cosB?1?2?2?1???． 224b2b2b2b2b2?c2?a2b2?c2?(bc?b2)c?b??又∵cosA?、
2bc2bc2b?cosA?cos2B、而A，B是三角形内角、?A?2B．
一般的、能用正弦定理解的三角形问题、也可用余弦定理去解．在具体的解题过程中、同学们可根据题意及自己对知识的掌握情况灵活选择运用公式．