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类比探究（一）——平行、直角（讲义）
? 知识点睛
1. 类比探究一般会围绕一个不变结构进行考查．常见结构有：
平行结构、直角结构、旋转结构、中点结构．
2. 类比是解决类比探究问题的主要方法．往往会类比字母、类
比辅助线、类比结构、类比思路来解决类比探究问题． 3. 常见结构：
①平行结构
AFGEBCD
②直角结构
ADEFG(B)C
③旋转结构
AD'DCBAB=AC
④中点结构
ABAAMENCDBMCMFBC 平行夹中点 (类)倍长中线 中位线
1
? 精讲精练
1. 如图，△ABC中，点E，P在边AB上，且AE=BP，过点E，
P作BC的平行线，分别交AC于点F，Q，记△AEF的面积为S1，四边形EFQP的面积为S2，四边形PQCB的面积为S3． （1）①若EP=2AE，则EF:PQ:BC=__________； ②求证：EF+PQ=BC．
（2）若SPE1+S3=S2，求AE的值．
（3）若SPE3-S1=S2，直接写出AE的值．
BPEAFQC2
已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3． （1）如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作□PCQD，则当点P与点A重合时，PQ的长为__________． （2）如图2，若P为AB边上任意一点，以PD，PC为边作
□PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．
（3）若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE=PD，再以PE，PC为边作□PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值．如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．
（4）如图3，若P为直线DC上任意一点，延长PA到E，使AE=nPA（n为常数），以PE，PB为边作□PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值．如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．
A(P)DBCQ图1
ADQPBC图2
EADQPBC图33
ADBCADBC
2.
3. 在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O；在Rt△PMN
中，∠MPN=90°．
（1）如图1，若点P与点O重合且PM⊥AD，PN⊥AB，分 别交AD，AB于点E，F，请直接写出PE与PF的数量关系． （2）将图1中的Rt△PMN绕点O顺时针旋转角度α（0°<α<45°）． ①如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
②如图3，旋转后，若Rt△PMN的顶点P在线段OB上移动 （不与点O，B重合），当BD=3BP时，猜想此时PE与PF的 数量关系，并给出证明．
③当BD=m·BP时，请直接写出PE与PF的数量关系． （3）在（2）②的条件下，当∠DPM=15°时，连接EF，若正 方形的边长为93，请直接写出线段EF的长．
MAEDNFO(P)BC图1MAEDNFO(P)BC图2
4
MAEDNFOPBC图3
4. 在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN
过点A且MN∥BC．以点B为一锐角顶点作Rt△BDE， ∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合）．如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP．
（1）在图2中，DE与CA的延长线交于点P，则BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由． （2）在图3中，DE与AC的延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．
MDANPEBC图1PEMDANBC图2MADNBCPE图3
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【参考答案】
1. （1）①1:3:4 ②证明略
（2）2 （3）2 2. （1）25 （2）PQmin?4，理由略 （3）PQmin?5，理由略 （4）PQmin?3. （1）PE=PF
（2）①成立，证明略；②PE=2PF，证明略；③PE=(m-1)PF （3）65 4. （1）成立，证明略
（2）相等
2(n?4)，理由略 26