长江水质评价和预测的数学模型
摘要
水质评价和预测是实施水污染控制规划的重要基础。本文结合模糊数学和灰色系统预测理论，构建长江水质评价和预测的数学模型并利用数学软件对模型进行了求解，解决了如何综合评价长江水质以及如何预测水质的污染情况问题。
(1)问题一,结合水质评价的特点, 采用了直接确定多指标权重和有限样本隶属度的模糊分析法，对长江近两年多的水质情况做出了定量的综合评价。用模糊综合评价法对各断面水质的综合评价结果如表：
四川攀枝花 Ⅰ 江苏南京 Ⅱ 湖南岳阳楼 Ⅲ 重庆朱沱 Ⅲ 四川乐山 Ⅳ 湖北武汉 Ⅱ 湖北宜昌 Ⅱ 四川宜宾 Ⅱ 江西南昌 Ⅱ 湖南岳阳城陵矶 Ⅱ 四川泸州 Ⅲ 江西九江 Ⅲ 江西九江 Ⅱ 湖北丹江口 Ⅰ 江苏扬州 Ⅱ 安徽安庆 Ⅱ 湖南长沙 Ⅲ (2)问题二，把长江干流的7个观察站分成6个类似的独立系统来研究，通过分析水流流入和流出各个系统的过程，建立江水污染物浓度随时间变化含参变量的微分方程模型，在江水污染浓度恒定和自然净化效率成线性关系情况下，精确算出刚进入各个观察站的上游污水的浓度，利用关系式观察值=上游污水浓度+本地污染造成的浓度，代入数据得出结论：CODMn的主要污染源是湖南岳阳城陵矶、湖北宜昌和四川攀枝花；NH3-N的主要污染源是重庆朱沱和湖南岳阳城陵矶。
(3)问题三，根据灰色系统预测法来对未来10年长江水质污染的发展趋势做出预测；首先建立GM（1，1）模型，再用灰色系统理论应用软件对数据进行处理得到未来10年的长江水质报告表，然后用1996年到2004年的模拟值、残值和相对误差对报告表进行检验，经检验可知一次预测10年的水质情况是存在较大误差，最后我们用一次预测两年对水质报告表进行修正得到比较合理的长江水质报告表。
(4)问题四，根据问题三中得出的Ⅳ类和Ⅴ类的百分比之和，当两者之和小于20%时，建立约束条件和目标函数进行目标规划，得出未来10年内每年最大排污量，从附件四中10内的数据中建立浓度与时间的回归模型，得出其相关函数并预测出未来10内每年的排污量及每年需要处理的污水量。
最后我们根据实际对模型做了评价和适当改进，使之更符合实际运用。
关键词 水质评价和预测 模糊综合评价法 微分方程 灰色系统预测法
目标规划
1
一 问题重述
长江水质的污染程度日趋严重，已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。附件3给出了长江沿线17个观测站（地区）近两年多主要水质指标的检测数据，以及干流上７个观测站近一年多的基本数据（站点距离、水流量和水流速）。通常认为一个观测站（地区）的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。一般说来，江河自身对污染物都有一定的自然净化能力，即污染物在水环境中通过物理降解、化学降解和生物降解等使水中污染物的浓度降低。反映江河自然净化能力的指标称为降解系数。事实上，长江干流的自然净化能力可以认为是近似均匀的，根据检测可知，主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的降解系数通常介于
0.1~0.5之间，比如可以考虑取0.2(单位：1/天)。附件4是“1995~2004年长江流域水质报告”给出的主要统计数据。下面的附表是国标(GB3838-2002) 给出的《地表水环境质量标准》中4个主要项目标准限值，其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类为可饮用水。
要求：
（1）对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染状况。
（2）研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在哪些地区?
（3）假如不采取更有效的治理措施，依照过去10年的主要统计数据，对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析，比如研究未来10年的情况。
（4）根据预测分析，如果未来10年内每年都要求长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比例控制在20%以内，且没有劣Ⅴ类水,那么每年需要处理多少污水？
（5）对解决长江水质污染问题提出切实可行的建议和意见。
二 问题分析
问题一 由于水体污染指标之间的相容性(不存在传递性、绝对化) , 且水质评价本身是一种实践性、时空性、技术性均很强的多属性、多指标决策,同时评价过程中所涉及的各指标权重。本文针对水质评价的特点、要求以及求解过程中的难点, 采用了直接确定多指标权重和有限样本隶属度的模糊分析法，对问题1进行了模糊综合分析法。根据国家水质标准（表2）来综合评价。
问题二 中把长江干流的七个观察站分成六个类似的独立系统来研究，因各个系统中某种污染物的浓度都是时刻在变化的，通过分析水流流入和流出该系统的过程，建立江水污染物浓度随时间变化含参变量的微分方程模型。通过模型算出刚进入各个观察站的上游污水的浓度，利用（观察值=上游污水浓度+本地污染造成的浓度）的关系，算出各个观察站所在地区在某特定时间对长江造成的污染浓度。
问题三 首先对附件4的数据进行分析然后整理成为9个表，然后建立灰色系统预测法来对未来十年长江水质污染的发展趋势做出预测，再用灰色系统理论应用软件对数据进行处理得到未来十年的长江水质报告表，最后用1996年到2004年的模拟值、残值和相对误差对报告表进行检验，由此可知一次预测十年的水质情况是不准确的，我们用一次预测两年对水质报告表进行修正得到比较合
2
理的长江水质报告表。
问题四是根据问题三中得出的Ⅳ类和Ⅴ类的百分之和，当两者之和小于20%时，建立约束条件和目标函数，得出未来10年内每年最大排污量，从附件四中10内的数据中建立浓度与时间的回归模型，得出其相关函数并预测出未来10内每年的排污量，减去每年至多的排污量，则为每年需要处理的污水量。
三 各问题假设、参数说明、模型建立与求解
问题一的建模与求解
针对水质评价的特点、要求以及求解过程中的难点, 采用了直接确定多指标权重和有限样本隶属度的模糊分析法，对问题1进行了模糊综合分析。根据国家水质标准（表2）来综合评价。
符号说明
ci si
因子ui的实测浓度值均值； 因子ui各级水质标准的算术均值； 因子ui的权重值；
wi rij 因子ui对j级水质的隶属度； 因子ui的实测浓度值； 因子ui第j级水质标准；
ci
si,j
1、 计算出17个观察站在28个月中的各个参数的平均值（表1），并建立评价对象的因素U?{u1,u2,u3,u4}，根据国家水质标准（表2）来综合评价
因素是参与评价的评价指标，即问题中的实际测定浓度的模糊子集。根据我国《地表水环境质量标准》（GB3838-2002），并考虑长江水污染的特点，选择四个参数作为评价因子U=（PH，DO，CODMn,NH3-N）。
3
表 1 17个观察站在28个月中时间上的平均值
PH DO CODMn NH3-N 8.256071 9.154286 2.432143 0.182857 7.893571 8.896071 2.307143 0.334643 7.750714 8.505357 2.875 0.264286 7.816786 8.683214 3.785714 0.330000 7.424286 7.753571 2.428571 0.160357 7.084643 7.094286 2.510714 0.911429 7.650000 7.491071 2.092857 0.127857 7.495714 5.558571 5.242857 0.924286 8.075714 8.976071 2.735714 0.430357 7.679643 6.932500 3.296429 0.815714 7.877143 9.291071 1.953571 0.092143 7.084643 7.094286 2.510714 0.911429 7.728571 8.315000 4.192857 0.385714 7.947500 7.421429 3.325 0.197500 7.110357 5.698214 2.323929 4.633214 7.645000 7.894643 3.732143 0.287143 7.681786 8.137857 3.021429 0.287143
《地表水环境质量标准》（GB3838—2002）中4个主要项目标准限值 单位：mg/L
表 2
分 类 序 标准值 号 项 目 7.5
1 溶解氧(DO) ≥ （或饱和率6
90%）
2 高锰酸盐指数(CODMn) ≤ 3 氨氮（NH3-N） ≤ 4 PH值（无量纲）
2 0.15
4 0.5
6 1.0 6---9
10 1.5
15 2.0
∞ ∞ 5
3
2
0
Ⅰ类 Ⅱ类 Ⅲ类 Ⅳ类 Ⅴ类 劣Ⅴ类 四川攀枝花龙洞 重庆朱沱
湖北宜昌南津关 湖南岳阳城陵矶 江西九江河西水厂 安徽安庆皖河口 江苏南京林山
四川乐山岷江大桥 四川宜宾凉姜沟 四川泸州沱江二桥 湖北丹江口胡家岭 湖南长沙新港 湖南岳阳岳阳楼 湖北武汉宗关 江西南昌滁槎 江西九江蛤蟆石 江苏扬州三江营
2、立评价集V?{v1,v2,v3,v4,v5,v6}
V是与U评价因子相应的评价评价标准集合。在水质评价中，V是各个污染因子相应的环境质量标准等级的集合。由于水体污染程度是一个模糊概念，就以问题中的分类为评价等级，把在表水分为6个等级。即评价集为：V{Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，劣Ⅵ}
3、定评价因素的模糊权向量
通常各因子的重要程度不同，因此对每个因子ui赋于一个相应的权重ai
4
（i=1,2,3,4）构成权重集A。ai的确定方法如下：
ci ai?si4?1cisi?wi4 （1）
i?w1其中ci是因子ui的实测浓度值，si是因子ui各级水质标准的算术均值，wi是因子
ui的权重值。上式中四项因子指标，分别计算出权重后，组成一个1?n4模糊权重
集A?(a1,a2,a3,a4)，且ai?0,?ai?1。
1根据以上步骤，可计算出各单项参数权重值，得到模糊权重集A。
表 3
各项参数 各断面点名称 四川攀枝花龙洞
重庆朱沱 湖北宜昌南津关 湖南岳阳城陵矶 江西九江河西水厂 安徽安庆皖河口 江苏南京林山 四川乐山岷江大桥 四川宜宾凉姜沟 四川泸州沱江二桥 湖北丹江口胡家岭 湖南长沙新港 湖南岳阳岳阳楼 湖北武汉宗关 江西南昌滁槎 江西九江蛤蟆石 江苏扬州三江营
4、隶属度的确定
从一个ui出发进行评价，以确定评价对象对评价集元素Vj的隶属程度
rij(j?1,2,3....6)PH 0.31 0.3 0.3 0.28 0.31 0.26 0.34 0.33 0.3 0.28 0.27 0.31 0.25 0.32 0.14 0.3 0.3
DO 0.55 0.53 0.52 0.5 0.53 0.41 0.53 0.4 0.46 0.46 0.44 0.5 0.41 0.47 0.22 0.48 0.5
CODMn 0.1 0.09 0.11 0.14 0.1 0.09 0.09 0.23 0.16 0.1 0.12 0.08 0.09 0.13 0.04 0.14 0.15
NH3-N 0.05 0.09 0.07 0.86 0.05 0.24 0.04 0.03 0.03 0.11 0.21 0.27 0.23 0.05 0.66 0.08 0.08
亦称为单因素模糊评价。
ui属于第j级水质的隶属函数为：
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