B题：DVD在线租赁
第十三组
执笔人：侯慧慧
B题：DVD在线租赁
摘要
在线租赁是信息时代发展的必然趋势。在租赁过程中，网络经营者主要关注的预测、购买和分配。针对问题一，利用需求预测得到观看DVD的人数服从二项分布，并计算出多种可靠度下购买DVD 的数量 (见文中表2、表3)。问题二中，使会员的满意度和达到最大，由此可以得到目标函数为：
10001001max?aijcij?,? ??27?1000i?1j?1（其中aij表示第i个会员是否分配到了第j种DVD，cij表示第i个会员得到第j种DVD的满意度）。建立一个线性规划模型，得到问题二的分配方案，并计算出前
30位会员的分配结果（见文中表4）。而对于问题三，。假设每种DVD的购买数量和其会员总偏爱程度成正比，于是对于某个需购买DVD总数，可以按照偏爱程度的比例确定每种DVD需要购买的数量，目标函数为：
maxZ???Cij?xij
i?1j?11000100（其中Cij表示修正偏爱指数矩阵，xij是0?1变量，表示是否把第i种DVD分配给第j个会员）。然后按照0—1规划模型进行第一次分配。接着用数值模拟的方法随机取60％的会员一个月租赁两次 DVD，并把归还后的DVD用0—1规划模型进行第二次分配，最终计算得到会员相应的满意度，从而给出了网站准备的DVD总数和会员在一个月的满意度之间的关系，并建议网站准备2300张左右的DVD，使得会员一个月的满意度达到0.8左右。；问题四是设计出一种DVD的需求预测、购买和分配的数学模型使得网站能够持续发展，即满意度尽可能大，同时利润也尽可能大，模型如下：
?mn?Maxf?t????t????xij?pij??1???t??m?t??a?b?k?0???t??1
?i?1j?1???（其中，pij表示第i个会员对j种DVD选择与否；aij表示会员i对j种DVD的偏爱度；a表示会员月会费；b表示每一张DVD的价格；m表示会员人数；n表示DVD
数量）。最后，本文还对模型进行了恰当的评价。
关键字： 简单随机抽样 0-1规划 数值模拟
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一、问题的重述
这是一个在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。考虑以下问题：
1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？
2）题中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。
3）假设题中表2DVD的现有数量全部为0。如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？
4）作为网站的经营管理人员，在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出问题，并尝试建立相应的数学模型进行解答。
二、基本假设与符号说明
2.1基本假设
(1)假设问卷调查所得数据符合统计规律； (2)假设邮寄时问可以忽略不计； (3)假设不同会员对某种 D VD的偏好指数是相互独立的。同一会员对不同种DVD的偏好指数也是相互独立的；
(4)以一个月为一个周期，考虑在一个周期内DVD的租赁情况；
(5)一个周期结束，所租赁出的DVD全部归还网站，不影响下一个周期的租赁； (6)会员只有在将第一次租赁的三张DVD还回网站之后，才能进行第二次租赁； (7)每个会员同一种DVD只租赁一次； (8)DVD在租赁过程中无损坏；
(9)网站不会将DVD租借给对此满意度为0 的会员； (10)容许会员得到的DVD数量少于3张；
(11)假设每种DVD需要购买的数量和该DVD的对应的非负修正偏爱指数的总和成
正比； 2.2符号说明
nj 网站第j种DVD的购买量
2
pj 会员租赁第j种DVD的概率
?ij 第i个会员是否租赁第j种DVD
aij 第i个会员是否分配到了第j种DVD bij 第i个会员对第j种DVD的偏爱程度 cij 第i个会员得到第j种DVD的满意度
Ci 表示第i种DVD对应的非负修正偏爱指数的总和 Di 表示顾客对第i种DVD的偏爱程度
三、模型的建立
3.1问题一
设随机变量
?1?ij???0表示第i个会员租赁第j张DVD表示第i个会员不租赁第j张DVD其中i?1,2,?,100,000.
显然随机变量?ij服从两点分布，即
P{?ij?1}?pj，P{?ij?0}?1?pj
其中pj的取值见表1.
根据网站问卷调查的这些统计数据，可以得到网站会员租赁这些DVD的概率（频率是概率的近似值）。
表1 会员租赁5种DVD的概率 DVD名称 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 第i张DVD p3?0.05 p4?0.025 p5?0.01 p1?0.2 p2?0.1 被租赁的概率 100,000设随机变量?j??i?1即?j表示100,000个会员中租赁第j?ij，j?1,2,?,5，
张DVD的总数，由于?ij（i?1,2,?,100,000）之间相对独立，也就是会员之间是否租赁该张DVD是相互独立的，由二项分布与二点分布之间的联系，即二项分布随机变量是n个独立同分布的二点分布随机变量之和，可知?j服从二项分布，即：
kP{?j?k}?C100,000?(pj)k?(1?pj)100,000?k,j?1,2,?,5
同时可以得到：
3
E(?j)?100,000pj,j?1,2,?,5
j?1,2,?,5
D(?j)?100,000pj?(1?pj),3.2问题二
?1,???表示第i个会员分到了第j种DVD设aij??则对会员的分配矩阵为： ，?2,??表示第i个会员没有分到第j种DVD?a1,1?a2,1A=?????a1000,1a1,2a2,2?a1000,2a1,100???a2,100????
??a1000,100???由题目中的表2，可以得到会员对DVD的偏爱程度矩阵为：
b1,2?b1,1?bb2,22,1?B=?????b1000,1b1000,2b1,100???b2,100????
??b1000,100???其中bij表示第i个会员对第j种DVD的偏爱程度。
由于bij越大，表示偏爱程度越小，同时会员得到该DVD的满意度越小。因此我们定义第i个会员得到第j种DVD的满意度为 cij，即
??11?bij,???bij?0cij??
??0,???????????bij?0则会员的满意度矩阵为：
c1,2?c1,1?cc2,22,1?C=?????c1000,1c1000,2c1,100???c2,100????
??c1000,100???100由此得到，第i个会员对分配方案A的满意度为： ?aijcij
j?1当第i个会员得到其偏爱程度为1、2和3的三张DVD时，他是最满意的，其满意度为：10?9?8?27,由此可以得到第i个会员的标准化满意度为：
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