专题二、带电粒子（体）在磁场中的运动
1 .如图所示，真空中有（r，0）为圆心，半径为r的圆柱形匀强磁场区域，磁场的磁感应
强度大小为B，方向垂直于纸面向里，在y=r的虚线上方足够大的范围内，有方向水平向左的匀强电场，电场强度的大小为E，从O点向不同方向发射速率相同的质子，质子的运动轨迹均在纸面内，设质子在磁场中的偏转半径也为r，已知质子的电量为e，质量为m，不计重力及阻力的作用，求
（1）质子射入磁场时的速度大小
（2）速度方向沿x轴正方向射入磁场的质子，到达y轴所需的时间
（3）速度方向与x轴正方向成30°角（如图中所示）射入磁场的 质子，到达y轴的位置坐标。 1. 解答：（1）质子射入磁场后做匀速圆周运动，有
evB?mv2/r，
①
可得v?eBr/m ② （2）质子沿x轴正向射入磁场后经1/4圆弧后以速度v垂直于电场方向进入电场，在磁场中运动的时间
t1?T/4??m/2eB，
③
进入电场后做抛物线运动，沿电场方向运动r后到达y轴，因此有
t2?2r2mr? aeE ④
所求时间为t?t1?t2??m?2eB2mr eE⑤
（3）质子在磁场中转过120°角后从P点垂直电场线进入电场，如图所示。
P点距y轴的距离x1?r??r?sin30??1.5r
⑥
因此可得质子从进入电场至到达y轴所需时间为
t3?3rm ⑦ eE质子在电场中沿y轴方向做匀速直线运动， 因此有
y?vt3?Br3er mE⑧
质子到达y轴的位置坐标为r?y?r?Br3er mE
2．如图所示，在Oxy平面的第一象限和第二象限区域内，分别存在场强大小均为E的匀强电场I和II，电场I的方向沿X轴正方向，电场II的方向沿Y轴的正方向。在第三象限内存在垂直于Oxy平面的匀强磁场III，Q点的坐标为（-x0，0）。已知电子的电量为-e，质量为m（不计电子所受重力）。
（1）在第一象限内适当位置由静止释放电子，电子经匀强电场I和II后恰能通过Q点。 求释放点的位置坐标x、y应满足的关系式；
（2）若要电子经匀强电场I和II后过Q点时动能最小，电子应从第一象限内的哪点由静止释放？求该点的位置和过Q点时的最小动能。
（3）在满足条件（2）的情况下，若想使电子经过Q后再次到达y轴时离坐标原点的距离为x0，求第三象发内的匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向。 解析：（1）设释放点的位置坐标x、y，电子在第一象限内 做初速度为零的匀加速直线运动
eEx?1mv2 212eEat a?
m2
电子在第二象限内做类平抛运动
x0?vt y?2x0解得xy?
4
（2）电子从静止释放过Q点的全过程中由动能定理
EKQ?Eex?eEy?eE(x?y)
当x?y?x0时 x?y有最小值， 2即将电子从第一象限内的P(x0x0,)点从静止释放过Q点时动能最小，最小动能是22eEx0
（3）电子过Q点时动能
12mvQ?Eex0 2速度大小vQ?2Eex00，方向与x轴负方向成45角。 m2x0， 2电子在第三象限内的匀强磁场中做匀速圆周运动的半径r?mvQv2由qvB?m 有B?
rQr故B?2meEx0ex0，方向垂直纸面向外。
3．如图所示， ab、ef是平行地固定在水平绝缘桌面上的光滑金属导轨，导轨间距为d．在导轨左端a、c上连有一个阻值为R的电阻，一质量为3m，长为d的金属棒恰能置于导轨上并和导轨良好接触。起初金属棒静止于MN位置，整个装置处于方向垂直桌面向下、磁感应强度为B的磁场中。现有一质量为m的带电量为q的绝缘小球在桌面上从O点（O为导轨上的一点）以与ef成60°斜向右方射向ab，随后小球直接垂直地打在金属棒的中点上，并和棒粘合在一起（设小球与棒之间没有电荷转移）。小球运动过程中不计导轨间电场的影响，导轨和金属棒的电阻不计。求：
a M （1）小球射入磁场时的初速度υ0； b （2）电阻R上产生的总热量Q B 解：⑴小球入射磁场后将作匀速圆周运动，设圆周运动
R
的半径为r，其轨迹如图所示（略）
υ0 由几何知识可知：d?r?rsin(90?60) 60° 2e f N M O a db 解得 r? ① B 2小球在磁场中作圆周运动： q?0B?m?0 ②
rR
由①、②得： ?0?qBd ③
υ0 3m60° ⑵小球和金属棒的碰撞过程，由动量守恒定律得：
f mυ0=(m＋3m)υ ④ e N O 金属棒切割磁感线的过程中，棒和小球的动能转化为电能进而转化成焦耳热： 1 (m?3m)?2?Q ⑤ 2222q由③、④、⑤可得： Q?Bd ⑥ 72m
4. 一带正电的小球质量为m＝1．0×10kg，带电量为q＝1．0×10C，小球在相互垂直的匀强电场和匀强磁场的空间中沿一斜线向下做匀速直线运动，如图1所示。已知其水平分速度为vx＝6m/s，磁感应强度大小为B＝1T，方向垂直纸面向里，电场力做负功的功率大小为PE=0．3W。求电场强度E的大小和方向。（g取10m/s，方向可用反三角函数表示）
解析 将速度矢量分解，设水平速度为vx，竖直速度为vy，则带电小球在复合场中受力分析如图2所示。
由于小球做匀速直线运动，根据力的平衡条件，得
， ①
2
-2
-2
3qEy?qvxB?mg ②
又因洛伦兹力对小球不做功，则电场力的功率和重力的功率大小相等，有
。 ③
联立①、②、③三式，得Ex?3N/C，Ey?4N/C 故电场强度的大小。E?22Ex?Ey?5N/C
设场强与竖直方向夹角为θ，则满足
，
所以
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