1．圆的极坐标方程
[对应学生用书P6] 1．曲线的极坐标方程
(1)在极坐标系中，如果曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．
(2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤是：
①建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点． ②列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式． ③将列出的关系式整理、化简． ④证明所得方程就是曲线的极坐标方程． 2．圆的极坐标方程
(1)圆心在C(a,0)(a＞0)，半径为a的圆的极坐标方程为ρ＝2acos_θ. (2)圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为ρ＝r.
π
(3)圆心在点(a，)处且过极点的圆的方程为ρ＝2asin θ(0≤θ≤π)．
2
[对应学生用书P6]
[例1] 求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程． [思路点拨] 结合圆的定义求其极坐标方程． [解] 在圆周上任取一点P(如图) 设其极坐标为(ρ，θ)． 由余弦定理知：
圆的极坐标方程 CP2＝OP2＋OC2－2OP·OCcos∠COP，
1
故其极坐标方程为
2
r2＝ρ20＋ρ－2ρρ0cos(θ－θ0)．
几种特殊情形下的圆的极坐标方程
当圆心在极轴上即θ0＝0时，方程为r＝ρ0＋ρ－2ρρ0cos θ，若再有ρ0＝r，则其方程为ρ＝2ρ0cos θ＝2rcos θ，若ρ0＝r，θ0≠0，则方程为ρ＝2rcos(θ－θ0)，这几个方程经常用来判断图形的形状和位置．
π??1．求圆心在C?2，?，半径为1的圆的极坐标方程．
4??解：设圆C上任意一点的极坐标为M(ρ，θ)，如图，在△OCM中，由余弦定理，得
|OM|＋|OC|－2|OM|·|OC|·cos∠COM＝|CM|， π??2
即ρ－22ρcos?θ－?＋1＝0.
4??
π??当O，C，M三点共线时，点M的极坐标?2±1，?也适合上式，
4??所以圆的极坐标方程为 π??2
ρ－22ρcos?θ－?＋1＝0.
4??
2
2
2
2
2
2
?3π?2．求圆心在A?2，?处并且过极点的圆的极坐标方程． 2??
解：设M(ρ，θ)为圆上除O、B外的任意一点，连结OM、MB，则有OB＝4，OM＝ρ，
3
∠MOB＝θ－π.
2
∠BMO＝90°，从而△BOM为直角三角形． ∴有|OM|＝|OB|cos∠MOB 3?即ρ＝4cos?θ－π2?
极坐标方程与直角坐标方程的互化 ?＝－4sin θ. ??
2
[例2] 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化： (1)y＝4x；(2)x＋y－2x－1＝0； 1
(3)ρ＝.
2－cos θ
[思路点拨] 将方程的互化转化为点的互化：
??x＝ρcos θ，?
?y＝ρsin θ，?
2
2
2
ρ＝x＋y，??
?ytan θ＝x?x?
222
2
2
[解] (1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y＝4x， 得(ρsin θ)＝4ρcos θ. 化简，得ρsinθ＝4cos θ.
(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y＋x－2x－1＝0， 得(ρsin θ)＋(ρcos θ)－2ρcos θ－1＝0， 化简，得ρ－2ρcos θ－1＝0. 1
(3)∵ρ＝，
2－cos θ∴2ρ－ρcos θ＝1.
∴2x＋y－x＝1.化简，得3x＋4y－2x－1＝0.
在进行两种坐标方程间的互化时，要注意：
(1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同．
(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在0≤θ＜2π范围内求值．
(3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要注意化简．
(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形．
3．把下列直角坐标方程化为极坐标方程． (1)y＝3x；(2)x－y＝1.
2
2
2
2
2
2
22
2
22
2
3
解：(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y＝3x 得ρsin θ＝3ρcos θ，从而θ＝π
3.
(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2
－y2
＝1， 得ρ2
cos2
θ－ρ2
sin2
θ＝1，化简，得ρ2＝1
cos 2θ
. 4．把下列极坐标方程化为直角坐标方程． (1)ρ2cos 2θ＝1； (2)ρ＝2cos(θ－π
4)．
解：(1)因为ρ2
cos 2θ＝1， 所以ρ2
cos2
θ－ρ2
sin2
θ＝1. 所以化为直角坐标方程为x2
－y2
＝1.
(2)因为ρ＝2cos θcosπ4＋2sin θsinπ
4＝2cos θ＋2sin θ，所以ρ2
＝2ρcos θ＋2ρsin θ.
所以化为直角坐标方程为x2
＋y2
－2x－2y＝0.
[对应学生用书P7] 一、选择题
1．极坐标方程ρ＝1表示( ) A．直线 B．射线 C．圆
D．半圆
解析：∵ρ＝1，∴ρ2
＝1，∴x2
＋y2
＝1.∴表示圆． 答案：C
2．极坐标方程ρ＝asin θ(a＞0)所表示的曲线的图形是( )
4
解析：如图所示．
设M(ρ，θ)是圆上任意一点，则∠ONM＝∠MOx＝θ， 在Rt△NMO中，|OM|＝|ON|sin∠ONM， 即ρ＝2rsin θ＝asin θ. 答案：C
3．在极坐标系中，方程ρ＝6cos θ表示的曲线是( ) A．以点(－3,0)为圆心，3为半径的圆 B．以点(3，π)为圆心，3为半径的圆 C．以点(3,0)为圆心，3为半径的圆 π
D．以点(3，)为圆心，3为半径的圆
2
解析：由ρ＝6cos θ得ρ＝6ρcos θ，即x＋y－6x＝0， 表示以(3,0)为圆心，半径为3的圆． 答案：C
4．以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是( ) ππ
A．ρ＝2cos(θ－) B．ρ＝2sin(θ－)
44C．ρ＝2cos(θ－1) D．ρ＝2sin(θ－1)
解析：在极坐标系中，圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程为：r＝ρ0＋ρ－2ρρ0cos(θ－θ0)，所以可得ρ＝2cos(θ－1)．
答案：C
2
2
2
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5