一、判断题：（共26分，每小题2分）
1．任何无限集合均含有可数子集。 （ √ ） 2．集合E的边界点一定属于E。 （ × ） 3．若E不是开集，则E必为闭集。 （ × ） 4．任意多个开集之并仍为开集。 （ √ ） 5．零测集的任意子集是可测集。 （ √ ） 6．设f(x)在E上L可积, 则f(x)在E上有界。 （ × ） 7．若mE?0，则E一定是有限集或可数集。 （ × ） 8．a.e.收敛的函数列必依测度收敛。 （ × ） 9．由于?0,1???0,1???0,1?，故不存在使?0,1?和?01 ，?之间1?1对应的映射。 （ × ）10． 设f(x)是可测集E上的可测函数， 则f(x)在E上L可积。 （ × ） 11．设G1，G2是两个有界开集，且G1是G2的真子集，则mG1?mG2。 （ × ） 12．设f(x)是区间[a,b]上的有界变差函数，则f?(x)在[a,b]上L可积。 （ √ ） 13．设E是可测集，{fn(x)}和f(x)都是E上a.e.有限的可测函数，且limfn(x)?f(x)
n?? a.e.于E，则在E上必有fn(x)?f(x)。 （ × ）
二、单项选择题：（每小题3分，共15分）
1. 设f(x)在可测集E上L可积且
?|f(x)|dx?0，则以下结论正确的是 （ C ）
EA、mE?0； B、f(x)?0,?x?E；
C、f(x)?0,a.e.于E； D、以上答案都不对
E上的可测函数，则fn(x)?f(x)（在E上）是2. 设mE??，f(x)和{fn(x)}?n?1都是
fn(x)?f(x),a.e.于E的 ( C ).
A、充分必要条件； B、充分条件；
C、必要条件； D、无关条件.
3. 设E是?0,1?上有理点全体，则下列各式不成立的是（ D ）
A、E?[0,1] B、 E?? C、E=[0，1] D、 mE?1
4. 下列说法不正确的是（ C ）
'oA、若A?B，则m*A?m*B；B、 有限个或可数个零测度集之并集仍为零测度集；
C、可测集的任何子集都可测 ； D、凡开集、闭集皆可测。
5. 以下结论错误的是( B )
A、点集(1,3)是不可数集； B、点集(1,3)是完全集；
C、点集(1,3)是开集； D、点集(1,3)必可与它的一个真子集对等。
三、填空题（每小题3分，共15分）
1. 设E是区间[a,b]上的绝对连续函数f(x)的不连续点全体所成之集，则mE?__0__。 2. 设f(x)在[a,b]上Riemann可积的____充要 条件是f(x)在[a,b]上a.e.连续。 3. 设A2k?1?(1,3)， A2k?(2,5]，A?limAn，则mA? 4 。
n??4. 设{fn(x)}是可测集E上的一列非负可测函数，则
?En??limfn(x)dx ? lim(d)。x ?fnxn??EimEn? 5. 设集合列{En}满足条件：E1?E2???En?En?1??，则ln???En?1?n 。
四、解答题：（每小题8分，共16分，）
x??e， x?G0，1、设P，证明0，f(x)＝?0表示[0,1]上的Cantor三分集，G0?[0,1]?Ptanxx?e， x?P?0?f(x)在[0,1]上Lebesgue可积，并计算?x[0,1]f(x)dm的值.
解：设g(x)?e(x?[0,1])，则易知g(x)在闭区间[0,1]上连续，
从而有界可测，所以g(x)在[0,1]上Lebesgue可积. （4分） 又因为mP0?0，所以f(x)?g(x),a.e.于[0,1]， 于是f(x)在[0,1]上Lebesgue可积，并且有
?[0,1]f(x)dx??1[0,1]g(x)dx??[0,1]edx??edx?e0x1xx10?e?1 （8分）
nx2sin2010xdx. 2、求极限lim(R)?2401?nxn??nx22010sinx在[0,1]上连续，所以在[0,1]上Riemann可积，因而解：因为fn(x)?241?nx在[0,1]上Lebesgue可积. 显然有limfn(x)?0. 因为 （4分）
n??nx2nx2nx212010|fn(x)|?sinx???， 242421?nx1?nx2nx2又因为m[0,1]?1??，所以由有界控制收敛定理得
nx2nx22010lim(R)?sinxdx?lim(L)?sin2010xdx??0dx?0 （8分） 242401?nx[0,1]1?nx[0,1]n??n??1
五、证明题：（每小7分，共28分）
*1. 设A1,A2为R的两个子集，A1?A2，A1可测，且mA1??. 证明：如果mA1?mA2，
n则A2也是可测集。
证明：因为A1可测，所以对于集合A2，由卡氏条件有
m*A2?m*(A2?A1)?m*(A2?A1C).
Cn又因为A1?A1，A1可2?A1?A2?A1，代入上式并注意到A1?A2?R，所以A2?A*测且mA 1?mA2得 （3分）
m*A2?m*(A2?A1)?m*(A2?A1C)?m*A1?m*(A2?A1)?mA1?m*(A2?A1)
?m*A2?m*(A2?A1)
**再注意到mA1可测. 于是2?A1)?0，因而A2?A1?mA2??，由上式可得m(AA2?(A2?A1)?A1可测 （7分）
2. 设f(x)在可测集E上可测，证明：f(x)在E上Lebesgue可积?|f(x)|在E上Lebesgue可积.
证明：“(?)”设f(x)在E上Lebesgue可积，则因此
?Ef?(x)dx与?f?(x)dx都有限，
E?|f(x)|dx??EEf?(x)dx??f?(x)dx有限，
E从而|f(x)|在E上Lebesgue可积. （3分）
“(?)”设 |f(x)|在E上Lebesgue可积，则由限可知，
?|f(x)|dx??EEEf?(x)dx??f?(x)dx有
EE?Ef?(x)dx与?f?(x)dx都有限，因此?f(x)dx??f?(x)dx??f?(x)dx有
EE限，即f(x)在E上Lebesgue可积. （7分） “(?)”另证. 设 |f(x)|在E上Lebesgue可积，则由f?(x)?|f(x)|和f?(x)?|f(x)|即知f?(x) 与f?(x)均可积，因而f(x)可积. 3．设f(x)是(??,??)上的实值连续函数，则对任意常数c，E?{x|f(x)?c} 是一开集.
证明: ?x0?E，则f(x0)?c。 （2分） 因f(x)连续，故???0,?x?U(x0,?)时，有f(x）?c. 即U(x0)?E.
所以x0是E的内点. （5分） 由x0的任意性, E的每一个点都是内点,从而E为开集. （7分）
n4．设E?R，若对任意??0，存在开集G?E，使m*(G?E)??，则E是可测集。
证明: 对任何正整数n，由条件存在开集Gn?E,使m(Gn?E)?令G?*1 n?Gn?1?n，则G是可测集。 （3分）
*因为G?Gn，所以G?E?Gn?E，于是m(G?E)?m(Gn?E)?*1对一切正整数n n*成立，因而m(G?E)?0，即M?G?E是一零测度集，所以也可测. 由
E?G?(G?E) 知，E可测。 （7分）