理工高数（下）期中考试试卷参考答案及评分标准
C．f?x,y????x????y?； D．f?x,y????x???y?. 8．交换累次积分的次序： ?dx?042x0f(x,y)dy?( A ).
名 姓 线 号 学 级 班 号 序封 号 班 学 教 密 卷 试 学 大 峡 三
一. 单项选择题(每小题2分，共20分)
1．若非零向量a?，b?，c?满足a??b??0与a??c???0，则b??c??( A ). A．0； B．?1； C．1 ； D． 3.
2．直线??x?2y?z?0与平面x?y?z?1?x?y?2z?0的位置关系是( C ).
A．直线在平面内； B．平行； C．垂直； D．相交但不垂直.
3．设f(x?y,yx)?x2?y2，则f(x,y)?( C ).
A. x2?y2 ； B. x2?1?y1?y； C. x2(1?y)y2(1?x)1?y； D. 1?x.
4. 设f?x,y?在?x0,y0?处偏导数存在，则f?x,y?在该点( D ). A. 极限存在； B. 连续； C. 可微 ； D.以上结论均不成立.
5.设f?x,y?在?x0,y0?点的偏导数存在，则fx?x0,y0??( D ). A. limf?x0??x,y0??y??f?x0,y0??x?0?x；
B. limf?x0??x,y0??f?x0,y0??x?0?x；
C. limf?x,y??f?x0,y0?x?x0x?x； 0D. limf?x,y0??f?x0,y0?x?x0x?x.
0
6. 设z?excosy，则
?2z?x?y?( D ). A．exsiny； B．ex?exsiny； C．?excosy； D．?exsiny.
7.设??x?为任意一个x的可微函数，??y?为任意一个y的可微函数，若已知 F?x,y?是( D ).
A．f?x,y????x? ； B．f?x,y????y?；
?2F?2?x?y?f?x?y，则 A．?4dy4 B．?414y20?12f(x,y)dx； 4y0dy??yf(x,y)dx ；
C．
?410dy?1f(x,y)dx； D．4y4?0dy?1y2f(x,y)dx.
49.设区域D由曲线x?1?y2与x?0所围成，则区域D的面积为( B ).
A．
??0d??1?0d? ； B．2?20d??10?d?； C．
?2?0d??10?d?； D．
?2?1.
0d??0d?10．设D是圆环域1?x2?y2?4，则
??dxdy?( C ).
D A．π ； B．2π ； C．3π ； D．4π.
二．填空题(每小题3分，共15分)
1．
?x,ylimxy???0,0??2?exy?1 ?2 .
2．设z?arctan?xy?，则dz?ydx?xdy1?x2y2. 3．函数z?x3?4x2?2xy?y2的极值点是 ?0,0? . 4．已知a??2，b??4，如果a???b?与a???b?相互垂直，则???12 .
5.将二重积分I??22x?x2y21dx?2?xf(x,y)dy交换积分次序得I??11?1?0dy?2?yf(x,y)dx.
三．求解下列各题（每小题6分，共12分)
1. 求函数z?eax2?by2（a,b为常数）的全微分.
解：
?z?2axeax2?by2?z?2byeax2?by2?x，?y， 3分 dz?eax2?by2(2axdx?2bydy). 6分
1
??x?t?sint2.设空间曲线为 ??y?1?cost，求该曲线在点??????2?1,1,22??处的切线方程与法平面方程.
??z?4sint2解：点????2?1,1,22????对应的参数为t?2，
曲线在点??????2?1,1,22??处的切向量T??1,1,2?，
曲线在点????2?1,1,22???处的切线方程为
x??2?11?y?11?z?222， 3分 法平面方程为 (x??2?1)?(y?1)?2(z?22)?0，
即x?y?2z?4??2. 6分
阅卷人 得分
四. 求解下列各题（每小题8分，共16分)
1．设z?xarctan(xy)，求zx?1,1?，zy?1,1?，gradz?1,1?. 解：
?zxy??x?arctan?xy??1?x2y2，z?x?1,1???4?12， 3分 ?z?z1?y?x21?x2y2，?y?1,1??2， 6分 gradz?1?1??1,?1?(4?2)i?2j 8分
2.设z3?3xyz?a3，求?z?z?x，?y.
解：令F?x,y,z??z3?3xyz?a3
Fx??3yz，Fy??3xz，Fz?3z2?3xy 4分 ?z?x??FxF?yz?zFyxz2，y??F?2 8分 zz?xy?zz?xy
五．求解下列各题（每小题7分，共14分)
1．计算二重积分
???x2?y2?y?dxdy，其中D是由 y?x，y?x，
y?2所围成的区域. D2解：
???x2?y2?y?dxdy?D?20dy?2yy?x2?y2?y?dx 3分
??20(103y3?y2)dy 6分 ?323 7分
2．设I????f(x2?y2)dxdydz，其中?是曲面z?x2?y2和z?4?x2?y2围成的空间区
?域，将三重积分I化为柱坐标系下的三次积分（不作计算）. 解：I????f(x2?y2)dxdydz
? ????f(?2)?d?d?dz
? ??2?220d??0f(?)?d???4?2?dz 7分
六. （本题8分）
求直线x?y?4与椭圆x24?y2?1之间的最短距离.
解：设椭圆上一点坐标为(x,y)，它到直线x?y?4的距离为
d?x?y?4(x,y)满足条件x22，又点4?y2?1，
2
x2构造拉格朗日函数L(x,y)?(x?y?4)??(?y2?1) 4分
423(x?2)?2(y?1)?(z?3)?0，
??x?0?Lx?2?x?y?4??2?? ?Ly?2?x?y?4??2?y?0
?x22133它和已知直线x??1?3t，y?1?2t，z??t的交点为(,,?)， 4分
7776 所求直线的方向向量为?(2,?1,4)，
7 故所求直线方程为x?2y?1z?3. 7分 ?????4?y2?12?14
解这个方程组得(454 5,55)或(?55,?55)， 代入计算得，椭圆上点(45
5,55)到已知直线的距离最短，
最短距离为22?102. 8分
七. （本题8分）
已知z?f(2x,y2?2zx)，f具有二阶连续偏导数，求?x?y.
解：?z?x?2fy21??f2??x2 4分
?2z4y?x?y?xf12???2y2y3x2f2??x3f22?? 8分
八. （本题7分）
求过点M(2,1,3)且与直线
x?13?y?12?z?1垂直相交的直线方程. 解：过点M(2,1,3)且与已知直线垂直的平面方程为
3