实验三：用FFT对信号作频谱分析
1．实验目的
学习用FFT对连续信号和时域离散信号进行谱分析的方法，了解可能出现的分析 误差及其原因，以便正确应用FFT。 2. 实验原理
用FFT对信号作频谱分析是学习数字信号处理的重要内容。经常需要进行谱分析的信号是模拟信号和时域离散信号。对信号进行谱分析的重要问题是频谱分辨率D和分析误差。频谱分辨率直接和FFT的变换区间N有关，因为FFT能够实现的频率分辨率是2?/N，因此要求2?/N?D。可以根据此式选择FFT的变换区间N。误差主要来自于用FFT作频谱分析时，得到的是离散谱，而信号（周期信号除外）是连续谱，只有当N较大时离散谱的包络才能逼近于连续谱，因此N要适当选择大一些。
周期信号的频谱是离散谱，只有用整数倍周期的长度作FFT，得到的离散谱才能代表周期信号的频谱。如果不知道信号周期，可以尽量选择信号的观察时间长一些。
对模拟信号进行谱分析时，首先要按照采样定理将其变成时域离散信号。如果是模拟周期信号，也应该选取整数倍周期的长度，经过采样后形成周期序列，按照周期序列的谱分析进行。
3．实验步骤及内容
（1）对以下序列进行谱分析。
x1(n)?R4(n)?n?1,? x2(n)??8?n,?0,??4?n,?x3(n)??n?3,?0,?0?n?34?n?7
其它n0?n?34?n?7其它n 选择FFT的变换区间N为8和16 两种情况进行频谱分析。分别打印其幅频特性曲线。 并进行对比、分析和讨论。
（2）对以下周期序列进行谱分析。
x4(n)?cos?4n
x5(n)?cos(?n/4)?cos(?n/8)
选择FFT的变换区间N为8和16 两种情况分别对以上序列进行频谱分析。分别打印其幅频特性曲线。并进行对比、分析和讨论。 （3）对模拟周期信号进行谱分析
x6(t)?cos8?t?cos16?t?cos20?t
选择 采样频率Fs?64Hz，变换区间N=16,32,64 三种情况进行谱分析。分别打印其幅频特性，并进行分析和讨论。
4．思考题
（1）对于周期序列，如果周期不知道，如何用FFT进行谱分析？
答：如果x(n)的周期预先不知道，可截取M点进行DFT，即
xM(n)?x(n)RM(n)
XM(n)?DFT[xM(n)] 0?k?M-1
再将截取长度扩大1倍，截取
x2M(n)?R2M(n)
X2M(n)?DFT[x2M(n)] 0?k?2M-1
比较xM(k)和 X2M(k)，如果两者的主谱差别满足分析误差要求，则以xM(k)或 X2M(k)近似表示
x(n)的频谱，否则，继续将截取长度加倍，直至前后两次分析所得主谱频率差别
满足误差要求。设最后截取长度为iM,则
XiM(k0)表示??[2?/(iM)]k0点的谱线强度。
（2）如何选择FFT的变换区间？（包括非周期信号和周期信号）
答：一、对于非周期信号：有频谱分辨率F，而频谱分辨率直接和FFT的变换区间
有关，因为FFT能够实现的频率分辨率是2π/N...因此有最小的N>2π/F。就可以根据此式选择FFT的变换区间。
二、对于周期信号，周期信号的频谱是离散谱，只有用整数倍周期的长度作FFT，得到的离散谱才能代表周期信号的频谱。
（3）当N=8时，x2(n)和x3(n)的幅频特性会相同吗？为什么？N=16 呢？
答: 因为x3(n)?x2((n?3))8R8(n)，所以，当N=8时，x3(n)与x2(n)的
DFT的模相等，幅频特性会相同，如图（2a）和（3a）。但是，当N=16时，3x(n)与x2(n)不满足循环移位关系，幅频特性不同，所以图（2b）和（3b）的模不同。
5．实验报告要求
（1）完成各个实验任务和要求。附上程序清单和有关曲线。
程序清单：
% 用FFT对信号作频谱分析 clear all;close all
%实验内容(1)===================================================
x1n=[ones(1,4)]; %产生序列向量x1(n)=R4(n)
M=8;xa=1:(M/2); xb=(M/2):-1:1; x2n=[xa,xb]; %产生长度为8的三角波序列x2(n) x3n=[xb,xa];
X1k8=fft(x1n,8); %计算x1n的8点DFT X1k16=fft(x1n,16); %计算x1n的16点DFT X2k8=fft(x2n,8); %计算x1n的8点DFT X2k16=fft(x2n,16); %计算x1n的16点DFT X3k8=fft(x3n,8); %计算x1n的8点DFT X3k16=fft(x3n,16); %计算x1n的16点DFT %以下绘制幅频特性曲线
n=(0:length(X1k8)-1)/(length(X1k8)/2)
subplot(3,2,1);stem(n,abs(X1k8),'.'); %绘制8点DFT的幅频特性图 title('(1a) 8点DFT[x_1(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度'); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X1k8))])
n=(0:length(X1k16)-1)/((length(X1k16))/2)
subplot(3,2,2);stem(n,abs(X1k16),'.'); %绘制16点DFT的幅频特性图 title('(1b)16点DFT[x_1(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度'); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X1k16))]) figure(2)
n=(0:length(X2k8)-1)/((length(X2k8))/2)
subplot(3,2,3);stem(n,abs(X2k8),'.'); %绘制8点DFT的幅频特性图 title('(2a) 8点DFT[x_2(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度'); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X2k8))])
n=(0:length(X2k16)-1)/((length(X2k16))/2)
subplot(3,2,4);stem(n,abs(X2k16),'.'); %绘制16点DFT的幅频特性图 title('(2b)16点DFT[x_2(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度'); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X2k16))])
n=(0:length(X3k8)-1)/((length(X3k8))/2)
subplot(3,2,5);stem(n,abs(X3k8),'.'); %绘制8点DFT的幅频特性图 title('(3a) 8点DFT[x_3(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度'); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X3k8))])
n=(0:length(X3k16)-1)/((length(X3k16))/2)
subplot(3,2,6);stem(n,abs(X3k16),'.'); %绘制16点DFT的幅频特性图 title('(3b)16点DFT[x_3(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度'); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X3k16))])
%实验内容(2) 周期序列谱分析================================== N=8;n=0:N-1; ?T的变换区间N=8 x4n=cos(pi*n/4);
x5n=cos(pi*n/4)+cos(pi*n/8);
X4k8=fft(x4n); %计算x4n的8点DFT X5k8=fft(x5n); %计算x5n的8点DFT N=16;n=0:N-1; ?T的变换区间N=16 x4n=cos(pi*n/4);
x5n=cos(pi*n/4)+cos(pi*n/8);
X4k16=fft(x4n); %计算x4n的16点DFT X5k16=fft(x5n); %计算x5n的16点DFT figure(3)
n=(0:length(X4k8)-1)/((length(X4k8))/2)
subplot(2,2,1);stem(n,abs(X4k8),'.'); %绘制8点DFT的幅频特性图 title('(4a) 8点DFT[x_4(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度'); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X4k8))])
n=(0:length(X4k16)-1)/((length(X4k16))/2)
subplot(2,2,3);stem(n,abs(X4k16),'.'); %绘制16点DFT的幅频特性图 title('(4b)16点DFT[x_4(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度'); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X4k16))])
n=(0:length(X5k8)-1)/((length(X5k8))/2)
subplot(2,2,2);stem(n,abs(X5k8),'.'); %绘制8点DFT的幅频特性图 title('(5a) 8点DFT[x_5(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度'); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X5k8))])
n=(0:length(X5k16)-1)/((length(X5k16))/2)
subplot(2,2,4);stem(n,abs(X5k16),'.'); %绘制16点DFT的幅频特性图 title('(5b)16点DFT[x_5(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度'); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X5k16))])
%实验内容(3) 模拟周期信号谱分析=============================== figure(4)
Fs=64;T=1/Fs;
N=16;n=0:N-1; ?T的变换区间N=16
x6nT=cos(8*pi*n*T)+cos(16*pi*n*T)+cos(20*pi*n*T); %对x6(t)16点采样 X6k16=fft(x6nT); %计算x6nT的16点DFT
X6k16=fftshift(X6k16); %将零频率移到频谱中心 Tp=N*T;F=1/Tp; %频率分辨率F
k=-N/2:N/2-1;fk=k*F; %产生16点DFT对应的采样点频率（以零频率为中心） subplot(3,1,1);stem(fk,abs(X6k16),'.');box on %绘制8点DFT的幅频特性图 title('(6a) 16点|DFT[x_6(nT)]|');xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度'); axis([-N*F/2-1,N*F/2-1,0,1.2*max(abs(X6k16))]) N=32;n=0:N-1; ?T的变换区间N=16
x6nT=cos(8*pi*n*T)+cos(16*pi*n*T)+cos(20*pi*n*T); %对x6(t)32点采样 X6k32=fft(x6nT); %计算x6nT的32点DFT
X6k32=fftshift(X6k32); %将零频率移到频谱中心 Tp=N*T;F=1/Tp; %频率分辨率F
k=-N/2:N/2-1;fk=k*F; %产生16点DFT对应的采样点频率（以零频率为中心） subplot(3,1,2);stem(fk,abs(X6k32),'.');box on %绘制8点DFT的幅频特性图 title('(6b) 32点|DFT[x_6(nT)]|');xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度'); axis([-N*F/2-1,N*F/2-1,0,1.2*max(abs(X6k32))]) N=64;n=0:N-1; ?T的变换区间N=16
x6nT=cos(8*pi*n*T)+cos(16*pi*n*T)+cos(20*pi*n*T); %对x6(t)64点采样 X6k64=fft(x6nT); %计算x6nT的64点DFT
X6k64=fftshift(X6k64); %将零频率移到频谱中心
Tp=N*T;F=1/Tp; %频率分辨率F
k=-N/2:N/2-1;fk=k*F; %产生16点DFT对应的采样点频率（以零频率为中心） subplot(3,1,3);stem(fk,abs(X6k64),'.'); box on%绘制8点DFT的幅频特性图 title('(6a) 64点|DFT[x_6(nT)]|');xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度'); axis([-N*F/2-1,N*F/2-1,0,1.2*max(abs(X6k64))])
有关曲线：