题目 机票预定价格和数量的预测及优化设计问题
摘要
本文研究的是机票预定价格和数量的预测及优化设计问题。 问题一：首先运用Eviews软件对已知的2005年10月至2010年3月的数据进行时间序列分析，通过6-期中心滑动平均和对数据进行季节调整，得到线性趋势拟合数据方程 Yt=c0+c1t (c0=625.7152,c1=7.289751)。接着，根据方程计算出趋势值，然后让趋势乘以季节指数，得到未来的预测。最后得到的结果为 1 2 3 4 5 6789 101112 月 月 月 月 月 月 月 月 月 月 月 月 2010 1045 1003 993 977 991 1008 1053 1116 1139 2011 1167 1167 1162 该模型较为准确地反映出了2010年10月以前的价格变动趋势，但是由于趋势方程为一阶线性方程，所以在2010年10月以后的数据误差较大。
因此，又采用灰色预测模型（GM（1,1）模型），通过讨论每个月在2005年至2010年间的价格变动规律，来预测未来一年内相对应的每个月的机票预订价格。同时，在此模型的基础上运用MATLAB软件编制相关程序求解，并且进行了模型检验。最后绘出每年以及预测出的未来一年内的价格变动图像，通过比较分析，得出价格变动的规律，并且通过灰色预测模型得到未来一年内相对应的每个月的机票预订价格。由于灰色预测模型得出的结论较为准确，所以问题一的最终结果采取灰色预测模型的结果。
问题一的结论是：1月机票价格波动较大；2月——5月价格逐渐上升；6月价格回落，6月——8月价格逐渐上升；9月价格回落；10月价格上升，10月——12月价格逐渐降低。各个年相同的月份价格普遍上升。未来一年内预估价格如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112月 月 月 月 月 月 月 月 月 月 月 月 2010 1067 1094 989 1039 1189 998 1196 1005 862 2011 924 894 917 问题二：假设公司的经济利益用机票收入扣除飞行费用和赔偿金后的利润来衡量；社会声誉用持票按时前来登机、但因满员不能飞走的乘客限制在一定数量为标准，转化成经济利益、社会声誉这两个目标的优化问题，再建立合理的模型，通过MATLAB软件对问题进行分析求解。最后通过模型改进对模型进行进一步优化。模型二得到的结果是：航空公司发出的预定机票数量为316张经济舱票，22张头等舱票。
关键词：时间序列预测模型 灰色预测模型 Eviews软件 MATLAB软件 模型转化 模型改进
一、问题的提出
1.1背景
航空公司对机票一般采取预定策略。电话或者互联网是航空公司为客户提供预定服务的两个渠道。机票的预定在为乘客出行提供方便的同时也给航空公司带来一定的不确定性。由于客户很可能由于各种原因取消预定，而该顾客已退还的机票并没有在飞机起飞前被卖出去，那么航空公司将蒙受损失。因此，航空公司要获得更大的利润，一方面要争取客户，另一方面要降低客户取消预定遭受的损失。
为此，航空公司也采取了一些有效的措施。首先，要求客户在预定机票的同时提供信用卡号，并预付一定数量的定金。如果客户在飞机起飞前48小时内取消预定，那么定金将如数退还，否则定金将被没收。此举虽然在一定程度上减少了航空公司的损失，但是也增加了乘客在预定机票时的手续。另外，航空公司采用变动价格，根据市场需求情况调整机票价格，一般来说旺季机票价格比较高，淡季价格略低。同时，在旺季航空公司往往可以预定超过实际座位数的机票数，保证在客户取消预定时，航空公司还可以保证机舱满员。当然，超额的预定也就为超过座位数的客户出现提供了可能。这种情况下，航空公司可能要通过升级机票档次或赔款来解决纠纷，为此航空公司还会承担信誉风险。因此合理的预定策略，也是航空公司需要解决的问题。 1.2需要解决的问题
一、在给出了某航空公司某条航线2005年10月～2010年3月期间每月经济舱机票平均价格（单位:元）的基础上，建立模型说明价格变动的规律，并据此估计未来一年内的经济舱机票的参考价格。
二、在某航空公司某条航系一中机型有头等舱20座，经济舱300座的情况下，为该航线设计合理的预定策略，解决以预订票数量的限额时决策变量的以经济利益和社会声誉为两目标的优化问题。
二、基本假设
2.1 问题一的基本假设 模型一的基本假设：
1、过去一段时间收集到的数据精确地刻化了历史； 2、历史会重复自己。 模型二的基本假设：
1、不考虑天气因素带来的影响；
2、不会出现突发事件而导致机票价格或订票乘客的数量有突然的改变。 2.2 问题二的基本假设
1、如果头等舱坐满，多出的持头等舱预订票的乘客不能进入经济舱，只能等待下一班飞机并获得赔偿；
2、预订票数量的限额为常数m(>n)，每位乘客不按时前来登机的概率为p，各位乘客是否按时前来登机是相互独立的，这适合于单独行动的商人、游客等； 3、头等舱和经济舱的机票票价之比为2；
4、由题目知客户在预定时需要预付定金，假设定金为票价的20%； 5、每位被挤掉者获得的赔偿金为常数b。
三、 符号说明
XX(0) 原始序列 为X(0)的一次累加生成序列 称为发展系数 为灰色作用量 超员赔偿给每位乘客的钱 预售票数 公司总收益 不按时前来的乘客 r n1 n2 飞行中的固定损耗 经济舱座位量 头等舱座位量 利润调节因子 时间 飞机票票价 给定座位个数 买票的人不能登机的概率 (1)a b ? b m s k t g n p
四、 模型的建立与求解
4.1.1问题一的分析：
问题一要解决的是建立机票预定价格的数学模型说明价格变动的规律，并据此估计未来一年内的经济舱机票的参考价格的问题。问题一给出了2005年10月至2010年3月期间，每月经济舱机票的平均价格。由于已知了54个月的价格，并且由假设知未来一年的机票价格不受天气或者突发事件等的影响，因此，我们采用时间序列模型,在得到没有季节特点的数据之后通过线性趋势拟合数据，然后让趋势乘以季节指数得到未来的预测。通过时间序列模型我们可以得出价格变动的大致规律，因此，接着我们又选择灰色预测模型（GM（1,1）模型），将各个年份的每个月分开讨论，研究该月在2005年至2010年中的变化规律，由每个月的价格规律预测未来一年内相对应的每个月的机票预订价格。同时在此模型的基础上运用MATLAB软件编制相关程序对预测的结果求解，并且进行模型验证。最后，我们绘出每年以及预测出的未来一年内的价格变动图像，通过比较分析，得出每年的价格变动规律。 4.1.2
模型一的建立： 【1】 为了研究价格变动的规律，采用Eviews软件进行时间预测分析。 首先，画出价格的图形，
图1
见图1，数据有明显的季节性特点。
计算6-期中心滑动平均得到趋势项（由于4-期已经验证过了，其曲线仍不够平滑，所以选择6-期），见图2（下图），经过滑动平均以后的数据比较光滑。
图2
对数据进行季节调整，得到图3。图3数据没有季节特点
图3 时间 季节调整时间 后的数据 2005.10 2007.04 2005.11 2007.05 季节调整时间 后的数据 781.7695 2008.10 803.6329 2008.11 季节调整季节指数 后的数据 938.3750 949.5163 1.017694 0.970532 2005.12 2006.01 2006.02 2006.03 2006.04 2006.05 2006.06 2006.07 2006.08 2006.09 2006.10 2006.11 2006.12 2007.01 2007.02 2007.03 575.2831 594.8168 625.3634 642.7628 654.8895 665.2545 672.8515 678.9017 684.5058 696.7682 726.4788 743.5784 763.4369 2007.06 2007.07 2007.08 2007.09 2007.10 2007.11 2007.12 2008.01 2008.02 2008.03 2008.04 2008.05 2008.06 2008.07 2008.08 2008.09 816.2738 820.2211 836.0718 851.5380 870.0785 882.0077 896.0261 894.1781 901.2239 902.7197 902.5916 905.5518 905.1365 922.1982 922.9280 922.3925 2008.12 2009.01 2009.02 2009.03 2009.04 2009.05 2009.06 2009.07 2009.08 2009.09 2009.10 2009.11 2009.12 2010.01 2010.02 2010.03 947.7443 940.0334 939.6908 941.8166 947.2744 944.2597 953.6071 952.3509 951.2367 945.8007 942.4291 926.5948 917.2845 930.2072 921.1443 920.1736 0.954892 0.932500 0.938654 0.949028 0.983881 1.036195 1.050257 1.068869 1.061593 1.050565 季节调整后的数据有趋势，并且反应出线性关系。使用线性趋势拟和数据
Yt=c0+c1t
根据最小二乘法估计出未知参数为c0=625.7152 c1=7.289751 序号t 趋势预测 季节指数 预测 1.017694 1044.8170 55 1026.6515 0.970532 1003.4730 56 1033.9413 0.954892 993.3083 57 1040.2310 0.932500 977.7456 58 1048.5208 0.938654 991.0408 59 1055.5105 0.949028 1008.9119 60 1063.1002 0.983881 1053.1364 61 1070.3900 1.036195 1116.6863 62 1077.6798 1.050257 1139.4968 63 1084.9695 1.068869 1167.4821 64 1092.2593 1.061593 1167.2735 65 1099.5490 1.050565 1162.8061 66 1106.8388 以下是取整后的最终结果： 1 2 3 4 5 6789 101112 月 月 月 月 月 月 月 月 月 月 月 月 2010 1045 1003 993 977 991 1008 1053 1116 1139 2011 1167 1167 1162 可以看出2010年10月后的数据误差较大，主要原因可能是季节调整后的数据并不严格满足线性关系，因此该模型反映的是价格变动的大致规律，以2010年10月以前的数据为准。
因此，下面建立灰色预测模型进一步探讨价格规律。