江西省红色七校2016届高三第二次联考数学（理）参考答案
一．选择题（共12小题，共60分，每小题5分） 题号 1 答案 D 2 C 3 A 4 C 5 A 6 A 7 C 8 D 9 A 10 B 11 C 12 B 二．填空题(共4小题，每小题5分，共20分) 13. ?2 14. 三．解答题
222sinCb?a?c17. 解:（1）?2??2accosB?ccosB?sinCcosB,……1分 222sinA?sinCc?a?b?2abcosCbcosCsinBcosC75 15. 640 16. 43因为sinC?0,所以sinBcosC?2sinAcosB?sinCcosB, ……2分 所以2sinAcosB?sinBcosC?sinCcosB?sin(B?C)?sinA,……4分 因为sinA?0,所以cosB?1,因为0?B?π,所以B?π;……6分
23（Ⅱ）T?sin2A?sin2B?sin2C?1(1?cos2A)?3?1(1?cos2C) ……7分
242?7?1(cos2A?cos2C)?7?1?cos2A?cos4π?2A? ……8分
?4242?3?????7?11cos2A?3sin2A?7?1cos2A?π ……9分
4222423????因为0?A?2π,所以0?2A?4π,故π?2A?π?5π,……10分
33333因此?1≤cos2A?π?1,所以3?T≤9 ……12分
2432??18. 解：（1）由题意知，x?0.18,y?19,z?6,s?0.12,p?50 ????3分 （2）由（Ⅰ）知，参加决赛的选手共6人， ????4分
①设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件A，
11C5+C174C4则P(A)? ?2A610所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为
7. ????-6分 10②随机变量X的可能取值为0,1,2 ????7分
3C41P(X?0)?3?，
C652112C4C23C4C21,P(X?1)??P(X?2)??， ????10分 33C65C65
随机变量X的分布列为：
X P 0 1 2 1 5????11分
1 53 5因为 EX?0?131?1??2?=1， 555所以随机变量X的数学期望为1. ????12分
19. 解：（1）?AC?BD,AC?BE,BD?BE?B， ?AC?平面BDE,……2分 连接OE，
所以AC?OE，又PA?平面ABCD，……3分
?AC?PA，又OE,PA都是平面PAC中的直线， ?OE∥PA， ……5分
且OE?平面BDE，PA?平面BDE， ?PA∥平面BDE ????6分 （2）?BC//AD，BC?2，AD?22且AB?CD
?在等腰梯形中OB?OC?1,OA?OD?2 ……7分
E?平面ABCD由（1）知O，分别以OB,OC,OE为x,y,z轴建立空间直角坐标系O?xyz，
则B(1,0,0),C(0,1,0),D(?2,0,0),P(0,?2,3) ……8分
????????n?CD?0设平面PCD的法向量为n?(x,y,z)则?????，所以???n?PC?0??2x?y?0 ?3y?3z?0??取x?1，则y?z??2，n?(1,?2,?2)，……9分 ????又PB?(1,2,?3)，……10分
??????????PB?n14cosPB,n???? ……11分 ???14PBn所以PB与平面PCD所成角的正弦值为
214 ????12分
14
20. 解：（1）圆M:?x?2??y2?64， 圆心M的坐标为?2,0?，半径R?8.
∵AM?4?R，∴点A??2,0?在圆M内. ……1分
设动圆C的半径为r，圆心为C，依题意得r?CA，且CM?R?r，
即CM?CA?8?AM. ……2分 ∴圆心C的轨迹是中心在原点，以A,M两点为焦点，长轴长为8的椭圆,设其方程为
x2y2222????1a?b?0b?a?c?12.……3分 a?4,c?2, 则.∴22abx2y2??1. ………………………4分 ∴所求动圆C的圆心的轨迹方程为
1612?y?kx?m,?222(2)由?x2 消去y化简整理得：?3?4k?x?8kmx?4m?48?0………5分 y2??1.??1612设B(x1,y1)，D(x2,y2)， 则x1?x2??8km.??2?43?4k24m2?48?0. ①………………6分 2?1?8km3?4k?????y?kx?m,?由?x2 消去y化简整理得：?3?k2?x2?2kmx?m2?12?0.…………7分 y2??1.??412设E?x3,y3?,F?x4,y4?， 则x3?x4?2km222,????2km?43?km?12?0. ②……………………8分 ?223?k????????????∵DF?BE?0，∴(x4?x2)?(x3?x1)?0，即x1?x2?x3?x4，…………………9分
∴?8km2km412km?0???.∴或.解得k?0或m?0. ………1022223?4k3?k3?4k3?k分
当k?0时,由①、②得 ?23?m?23，∵m?Z,，∴m的值为?3,?2 ?1，0，1,2,3;当m?0，由①、②得 ?3?k?3，∵k?Z,，∴k??1,0,1.
∴满足条件的直线共有9条．………………………………………………………………12分 21. （1）h(x)?f(x)?g(x)?lnx?111?ax?bh?(x)??2?axxx,则，……1分
∵h(x)?f(x)?g(x)在(0,??)上单调递增，∴对?x?0，都有
h?(x)?11??a?0，……2分 xx2
即对?x?0，都有a?1111?2，∵?2?0，∴a?0， xxxx故实数a的取值范围是(??,0]． ……3分 (2) 设切点(x0,lnx0?即y?(1111)，则切线方程为y?(lnx0?)?(?2)(x?x0)， x0x0x0x011111?2)x?(?2)x0?(lnx0?)，亦即x0x0x0x0x0y?(112?2)x?(lnx0??1)，……4分 x0x0x011122?t?0a???t?t,b?lnx??1??lnt?2t?1，……5分 令，由题意得02x0x0x0x0令a?b??(t)??lnt?t2?t?1，则??(t)???2t?1?当t?(0,1)时 ，??(t)?0，?(t)在(0,1)上单调递减； 当t?(1,??)时，??(t)?0，?(t)在(1,??)上单调递增， ∴a?b??(t)??(1)??1，故a?b的最小值为?1．……7分 （3）由题意知lnx1?两式相加得lnx1x2?分
1t(2t?1)(t?1)，……6分
t11?ax1，lnx2??ax2， x1x2x1?x2xx?x?a(x1?x2)，两式相减得ln2?12?a(x2?x1)，……8x1x2x1x1x2x2xln2x11x?xx11即，∴，
??alnx1x2?12?(?)(x1?x2)x2?x1x1x2x1x2x2?x1x1x2ln即lnx1x2?2(x1?x2)x1?x2x2?ln， ……9分
x1x2x2?x1x1x22(t?1)?1，令F(t)?lnt?(t?1)，则x1t?1不妨令0?x1?x2，记t?(t?1)2F?(t)??0，……10分
t(t?1) ∴F(t)?lnt?2(t?1)2(t?1)?F(1)?0， 在(1,??)上单调递增，则F(t)?lnt?t?1t?1∴lnt?x22(x2?x1)2(x1?x2)x1?x2x22(t?1)??ln?2， ，则ln，∴lnx1x2?xx?xxxx?xx1t?11121221
又lnx1x2?4x1x22(x1?x2)44?lnx1x2??lnx1x2??2lnx1x2?，
x1x2x1x2x1x2x1x2∴2lnx1x2?42?2，即lnx1x2??1，……11分 x1x2x1x2212，则x?0时，G?(x)??2?0，∴G(x)在(0,??)上单调递增， xxx令G(x)?lnx?又ln2e?212?ln2?1??0.85?1，
e2e222?1?ln2e?x1x22eG(x1x2)?lnx1x2?∴
，则x1x2?2e，即
x1x2?2e2．……12分
22. （1）证明：连结OA，在△ADE中，AE⊥CD于点E， ∴∠DAE+∠ADE=90°
∵DA平分∠BDC．∴∠ADE=∠BDA ∵OA=OD∴∠BDA=∠OAD
∴∠OAD=∠ADE∴∠DAE+∠OAD=90° 即：AE是⊙O的切线 ????5分 （2）在△ADE和△BDA中，
∵BD是⊙O的直径∴∠BAD=90°由（1）得：∠DAE=∠ABD 又∵∠BAD=∠AED,∵AB=2
求得：BD=4，AD=2
∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°,进一步求得：
CD=2 ????10分 23. 解：（1）直线l的普通方程为x?3y?2?0，
将x??cos?,y??sin?带入（*），得?cos??3?sin??2?0，……2分 化简得直线l的方程为?cos?????????1，……3分 3?圆C的极坐标方程为??2．……5分
???2??1??（2）联立方程组?，消去得cos?????????，……6分
?cos???13??2???3???
因为???0,2??，所以?所以???3????3?5?，……7分 3?3???3或???3??3，……9分
所以直线l和圆C的交点的极坐标为(2,0)，?2,24.解：
??2?3??．……10分 ?