1.5.3定积分的概念
【学习目标】
1.了解定积分的概念和性质； 2.了解定积分的几何意义； 3.能对简单的定积分进行计算．
【新知自学】
知识回顾：
求曲边梯形的面积：
（1）思想：以直代曲、逼近；
（2）步骤：分割?近似代替?求和?取极限；关键：近似代替； 结果：分割越细，面积越精确.
新知梳理：
1.定积分的概念：
一般地，设函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点a?x0?x1?x2? …?xi?1?xi?…
?xn?b将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为?x?______，在每个小区间
?xi?1,xi?上取一点?i?i?1,2,Sn??f(?i)?x??i?1i?1nn,n?，作和式：
b?af(?i).如果?x无限接近于0（亦即n???）时，上述和n式Sn无限趋近于常数S，那么称该常数S为________________________．记为_______. 其中f(x)称为_________，x叫做________，[a,b]为_______，b叫做积分____，a叫做积分_____________． 说明：（1）定积分
?baf(x)dx是一个常数，即Sn无限趋近的常数S（n???时）称为
?baf(x)dx，而不是Sn．
b（２）曲边图形面积：S??f?x?dx；变速运动路程S??v(t)dt；变力做功
at1t2W??F(r)dr．
ab2．定积分的几何意义：
如下图所示，如果在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)?0，那么定积分示直线x?a,x?b(a?b),y?0和曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积.
?f(x)dx表
ab
3．定积分的性质：
（１）kdx?_______（k为常数）；
a?b（２）kf(x)dx?____________（其中k是不为0的常数）；
a?b（３）（４）
??f(x)?fa1bab2(x)?dx?_______________；
． ?f(x)dx?__________________（其中a?c?b）
对点练习：
1.下列等于1的积分是（ ） A.
??101xdx B.?(x?1)dx
01C.1dx D.
01?02dx
1?x2(x?0),13．设f(x)??x则f(x)dx的值是（ ）
?2(x?0).?1?A.
?01?1x2dx B.?2xdx
?121x0x10?101C.?xdx??2dx D.?2dx??x2dx
?13．曲线y?x2,x?0,y?1，所围成的图形的面积可用定积分表示为__________.
4.当函数f(x)在区间[a,b]上连续且恒有f(x)?0（即函数图象在x轴下方）时，定积分
?f(x)dx表示___________________________.
ab【合作探究】
典例精析：
例1. 根据定积分的几何意义计算定积分：|x?2|dx的值．
1?3
变式练习：
根据定积分的几何意义计算定积分
例2.利用定积分的定义，计算
?21(x?1)dx的值．
?x013dx的值．
变式练习：
计算
?20x3dx的值，并从几何上解释这个值表示什么含义．
【课堂小结】
【当堂达标】
1.求由y?ex,x?2,y?1围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间为（ ）
A.［0，e2］ B.［0，2］ C.［1，2］ D.［0，1］ 2.下列命题不正确的是（ ）．
A.若f(x)是连续的奇函数，则B.若f(x)是连续的偶函数，则
??a?aaf(x)dx?0 f(x)dx?2f(x)dx
0?a?aC.若f(x)在[a,b]上连续且恒正，则D.若f(x)在[a,b]上连续且
b?f(x)dx?0
ab?f(x)dx?0，则f(x)在[a,b]上恒正
a
3.化简求值xdx?xdx?______________＝ _____________ ．
01?1?2
4.试用定积分的几何意义说明
?204?x2dx的大小．
【课时作业】
1.已知
?20f(x)dx?3,则[f(x)?6]dx=( )
0?2A.9 B.12 C.15 D.18 2.若函数f(x)?x3?x，则
?2?2f(x)dx等于（ ）．
A.0 B.8 C.f(x)dx D.2f(x)dx
00?2?23.将和式的极限
1p?2p?3p?.......?nplim(p?0)表示成定积分是（ ） n??nP?111pA.?dx B.?xdx
00x1x11C.?()pdx D.?()pdx 0x0n14.利用定积分的性质和几何意义求定积分
?30(2?x)2dx．
5.用定积分表示右图中阴影部分的面积.
yAy?f1(x)BDy?f(x)C2bxOa