高二数学选修2-1检测题（二）
编辑:李小焕 审核:褚仕文 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．抛物线y??1x2的准线方程是 ( ) A． x?1 B． y?2 C． y?1 D． y??2
832322．已知两点F1(?1,0)、F2(1,0)，且F1F2是PF1与PF2的等差中项，则动点P的轨迹方程是（ ）
22 A．x?y?1
16922B．x?y?1
161222C．x?y?1
4322D．x?y?1
343．若A(1,?2,1)，B(4,2,3)，C(6,?1,4)，则△ABC的形状是（ ）
A．不等边锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
4. “直线l与平面?内无数条直线都垂直”是“直线l与平面?垂直”的（ ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 5．如图，空间四边形ABCD中，M、G分别是BC、CD的中点，
则AB?11BC?BD22等于（ ）
C．AG
D．MG
A．AD B．GA
6．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2?y2?2x?6y?9?0的圆心的抛物线的方程是（） A．y?3x2或y??3x2 B．y?3x2 C．y2??9x或y?3x2 D．y??3x2或y2?9x 7．抛物线y＝x2到直线 2x－y＝4距离最近的点的坐标是 ( ) A．(3,5) B．(1，1) C．(3,9) D．(2，4)
24248．向量a?(2,?1,2)，与其共线且满足a?x??18的向量x是 A．(1,1,?1) B．（4，－2，4） C．（－4，2，－4）
234（ ）
D．（2，－3，4）
x2y29．已知双曲线C ：2-2=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为
abx2y2x2y2x2y2x2y2A．-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 205208052080202210.双曲线x?y?1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=3|PF2|, 则双曲
22ab线离心率的取值范围为 （ ） A.(1,2) B.?1,2? C.(3,+?) 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
D.?3,???
11．命题“存在有理数x，使x?2?0”的否定为 。
1
2
12. 已知A（1，－2，11）、B（4，2，3）、C（x，y，15）三点共线，则x y =___________.
22?13．M是椭圆x?y?1上的点，F、是椭圆的两个焦点，，则?FF?FMF?6021MF2 的面积 112259等于 ．
14. 在棱长为1的正方体AC1中， 则平面C1BD与平面CB1D1所成角余弦值为 ． 15．已知点P到点F(3,0的)距离比它到直线x??2的距离大1，则点P满足的方程
为 .
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）
2216. 已知命题p：“直线y=kx+1与椭圆x?y?1恒有公共点” 命题q：只有一个实数x满足
5a不等式x?2ax?2a?0. 若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．
17. （本小题满分12分）双曲线C的中心在原点，右焦点为
?23?，渐近线方程为?F??3,0???2y??3x.
（Ⅰ）求双曲线C的方程； （Ⅱ）设直线l：y?kx?1与双曲线C交于A、B两点，
问：当k为何值时，以AB 为直径的圆过原点；
18.（本题满分12分）
已知直线y?x?m与抛物线y2?2x相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，O为坐标原点． （1）当m?2时，证明：OA?OB；
（2）若y1y2??2m，是否存在实数m，使得OA?OB??1？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
2
19. 如图直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC?A1B1C1,底面?ABC中CA?CB?1,?BCA?900，棱AA1?2，M、N分别为A1B1、A1AD的中点. （I ）求 cos?BA1,CB1>的值； （II）求证：BN?平面C1MN （III）求点B1到平面C1MN的距离.
20． 已知四棱锥P?ABCD的底面为直角梯形，AB//DC， ?DAB?90?,PA?底面ABCD，且
N
CA
M B1
C B
A 1PA?AD?DC?， AB?1，M是PB的中点。
2（Ⅰ）证明：面PAD?面PCD； （Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小余弦值。
21（本小题满分14分）
x2y26已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的ab3面积为
52. 3（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知动直线y?k(x?1)与椭圆C相交于A、B两点. ①若线段AB中点的横坐标为?1，求斜率k的值； 2????????7②已知点M(?,0)，求证：MA?MB为定值.
3
3
高二数学选修2-1检测题（二）参考答案
一、选择题：
题号 答案 1 B 2 C 23 A 4 C 5 C 6 D 7 B 8 C 9 A 10 A 二．填空11 任意有理数x，使x?2?0 12. 2 13． 33 14 1/3或-1/3 ．15.y2?12x 三、解答题： 16. a<0或0
17. 解：（Ⅰ）易知 双曲线的方程是3x2?y2?1.
?y?kx?1,（Ⅱ）① 由?223x?y?1,?2
得3?k2x2?2kx?2?0，
??由??0,且3?k?0，得?6?k?6,且 k??3.
设A?x1,y1?、B?x2,y2?，因为以AB为直径的圆过原点，所以OA?OB，所以 x1x2?y1y2?0. 又x1?x2??2k2xx?，， 12k2?3k2?3所以 y1y2?(kx1?1)(kx2?1)?k2x1x2?k(x1?x2)?1?1， 所以
2?1?0，解得k??1. 2k?3?y?x?2，218.解：（1）当m?2时，由?2得x?6x?4?0，
y?2x，?解得 x1?3?5,x2?3?5，??????????4分 因此 y1?1?5,y2?1?5．
于是 x1x2?y1y2?(3?5)(3?5)?(1?5)(1?5)?0，?????????6分
????????即OA?OB?0．所以 OA?OB．
（2）假设存在实数m满足题意，由于A,B两点在抛物线上，故
2?1?y1?2x1，因此x1x2?(y1y2)2?m2． ??????????8分 ?24??y2?2x2，所以OA?OB?x1x2?y1y2?m2?2m．??????????9分 由OA?OB??1，即m2?2m??1，得m?1．??????????10分 又当m?1时，经验证直线与抛物线有两个交点，
4
所以存在实数m?1，使得OA?OB??1．??????????12分
19：以C为原点，CA、CB、CC1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的坐标系O－xyz （I）依题意得A1(1,0,2),C(0,0,0),B1(0,1,2),∴ BA,?1,2),CB1?(0,1,2) 1?(1 ∴
BA)?1?2?2?31?CB1?1?0?(?1BA1?CB1BA1?CB1?30 10BA1?6,CB1?5 ,
∴cos?BA1,CB1>=(II) 依题意得A1(1,0,2),C1(0,0,2),B1(0,1,2),N(1,0,1) ∴ M(,,2), ∴ C1M?(,112211,0),C1N?(1,0,?1),BN?(1,?1,1) 2211∴ C1M?BN??1??(?1)?1?0?0 C1N?BN?1?1?0?(?1)?(?1)?1?0
22 ∴ C1M?BN,C1N?BN ∴ BN?C1M,BN?C1N ∴ BN?平面C1MN (Ⅲ)
3 320．.证：以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为
1A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,).
2（Ⅰ）证明：因AP?(0,0,1),DC?(0,1,0),故AP?DC?0,所以AP?DC.
由题设知AD?DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC?面PAD. 又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD. （Ⅱ）解：因AC?(1,1,0),PB?(0,2,?1),
故|AC|?2,|PB|?5,AC?PB?2,所以10cos?AC,PB???.5|AC|?|PB|AC?PB
（Ⅲ）几何法：在MC上取一点N(x,y,z)，则存在??R,使NC??MC,
11NC?(1?x,1?y,?z),MC?(1,0,?),?x?1??,y?1,z??..
22?????????14要使AN?MC,只需AN?MC?0即x?z?0,解得??.
25412可知当??时,N点坐标为(,1,),能使AN?MC?0.555
1212此时,AN?(,1,),BN?(,?1,),有BN?MC?05555由AN?MC?0,BN?MC?0得AN?MC,BN?MC.所以?ANB为
所求二面角的平面角.
5
????30????30????????4?|AN|?,|BN|?,AN?BN??.555????????????????AN?BN2?????????cos(AN,BN)???.3|AN|?|BN| 2故所求的二面角为arccos(?).3法2：分别求出两面的法向量，易求之 21. （本小题满分14分）
x2y2c6222解: （Ⅰ）因为2?2?1(a?b?0)满足a?b?c， ?，…………2分
aba35x2y215222??1 ……………4分 。解得a?5,b?，则椭圆方程为?b?2c?535233x2y2??1中得 （Ⅱ）（1）将y?k(x?1)代入
553(1?3k2)x2?6k2x?3k2?5?0……………………………………………………6分 ??36k4?4(3k2?1)(3k2?5)?48k2?20?0
6k2x1?x2??2……………………………………………………………………7分
3k?116k213??，解得k??因为AB中点的横坐标为?，所以?2…………9分
23k?1236k23k2?5（2）由（1）知x1?x2??2，x1x2? 23k?13k?1????????7777所以MA?MB?(x1?,y1)(x2?,y2)?(x1?)(x2?)?y1y2 ……………11分
333377?(x1?)(x2?)?k2(x1?1)(x2?1)
33749?(1?k2)x1x2?(?k2)(x1?x2)??k2………………………………………12分
393k2?576k2492?(1?k)2?(?k)(?2)??k2
3k?133k?1924?3k4?16k2?5492????k????????????????????14分 293k?19 6