中学高中数学必修1第2章 基本初等函数（1）-4.备课资料（幂函
数）
历史上数学计算方面的三大发明
你知道数学计算方面的三大发明吗?这就是阿拉伯数字、十进制和对数.
研究自然数遇到的第一个问题是计数法和进位制的问题,我们采用的十进制是中国人的一大发明.在商代中期的甲骨文中已有十进制,其中最大的数是3万,印度最早到六世纪末才有十进制.但是,目前使用的计数法和阿拉伯数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,0是印度人最早开始使用,后来传到阿拉伯,由阿拉伯人传到欧洲,并被欧洲人所接受.
十进制位置计数法的诞生,是自然数发展史上的一次飞跃,同一个数字由于它所在的位置不同而有不同的值.无穷多个自然数可以用有限个符号来驾驭,所有的自然数都可以方便清楚地表示出来.
16世纪前半叶,由于实际的需要,对计算技术的改进提出了前所未有的要求.这一时期计算技术最大的改进是对数的发明和应用,它的产生主要是由于天文和航海计算的迫切需要.为了简化天文航海方面所遇到的繁杂数值计算,自然希望将乘除法归结为简单的加减法.苏格兰数学家纳皮尔(Napier,J.1550~1617)在球面天文学的三角学研究中,首先发明了对数方法.1614年他在题为《奇妙的对数定理说明书》一书中,阐述了他的对数方法,对数的使用价值为纳皮尔的朋友——英国数学家布里格斯(Birggs,H.1561~1630)所认识,他与纳皮尔合作,并于1624年出版了《对数算术》一书,公布了以10为底的14位对数表,并称以10为底的对数为常用对数.常用对数曾经在简化计算上为人们做过重大贡献,而自然对数以及以e为底的指数函数成了研究科学、了解自然的必不可少的工具.恩格斯曾把对数的发明与解析几何的创始,微积分学的建立并称为17世纪数学的三大成就.法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯曾说:“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命.”
一直到18世纪,瑞士数学家欧拉(Euler,L.1707~1783)才发现了指数与对数的关系,他指出“对数源出于指数”,这个见解很快被人们所接受.
(设计者：邓新国)
本章复习 整体设计
教学分析
函数是描述客观世界变化规律的重要的数学模型,面对纷繁复杂的变化现象,我们还可以根据变化现象懂得不同特征进行分类研究.而指数函数、对数函数以及幂函数是研究客观世界的变化规律的三类重要且常用的基本初等函数,本章学习了这三类基本初等函数的概念和性质,因此我们对这一些基本知识和三类基本初等函数学完的前提下,综合复习所学知识,进行知识梳理和整合,同时通过进行知识梳理和整合,使学生形成知识网络,强化数学思想和方法的运用,通过复合函数和抽象函数的复习,提高学生的综合能力. 三维目标
1.理解指数与对数,指数函数与对数函数及幂函数的概念和联系,通过提问,提高学生的认知水平,为学生塑造良好的数学认知结构.
2.让学生熟悉,能更加熟练地解决与指数函数、对数函数、幂函数有关的问题,培养学生数形结合的思想观念及抽象思维能力.
3.对复合函数,抽象函数有一个新的认识,培养学生分析、解决问题和交流以及分类讨论的能力.
重点难点
教学重点：指数函数、对数函数及幂函数的图象和性质. 教学难点：灵活运用函数性质解决有关问题. 课时安排 1课时
教学过程
应用示例
思路1
例1计算:
??3?340.50.253(1)［(3)(5)+(0.008)÷(0.02)2×(0.32)2］÷0.062 5;
892211lg5?lg8000?(lg23)2（2）.
11lg600?0.036?lg0.122活动：学生观察、思考,学生观察式子的特点,特别是指数和真数的特点,教师引导学生考虑
题目的思路,对有困难的学生及时提示,组织学生讨论交流,并对学生作及时的评价.
(?)3372×0.512234
解：(1)原式=［()×(?)·()+(0.2)×(?)÷(0.2)2］÷(0.5)×=
234331［
4725656?2705×+5÷5］÷0.5=+105=. 932727lg5?lg8000?(lg23)2lg5?lg(23?103)?(3lg2)2（2）=
111122?1lg6000?lg0.036?lg0.1lg(2?3?10)?lg(0.6)?lg1022223lg5?lg2?2lg5?3(lg2)23[lg5?lg2(lg5?lg2)]6===.
157lg2?lg3?2?lg0.6?lg6?lg0.6?22点评：在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式,注意立方和立方差公式在分
数指数幂当中的应用. 变式训练
b
如果已知log5427＝a,54＝3,如何用a、b表示log10881?
b
解法一：由54＝3得log543＝b. 所以log10881＝
log5481log5427?log543a?ba?b＝==.
2?log54272?alog54108log542?1a
x
解法二：由log5427=a,得54=27,设x=log10881,则108=81,
2-1x2-axba
所以(54×27)=3×27,即(54×54)=54×54.
2x-axa+b
所以54=54,即2x-ax=a+b.
因此,得x=
a?b. 2?a点评：解法一是通过指数化成对数,再由对数的运算性质和换底公式计算结果;解法二是通过对数化成指数,再由指数的运算性质计算出结果,但解法二运算的技巧性较大.
?1nn例2已知a＞0,a≠1,x=(a?an),求(x+x2-1)的值.
211活动：学生思考,观察题目的特点,教师引导学生考虑问题的思路,从整体上看,应先化简,然后再求值,要有预见性,a与a要时给予提示.
????11112002
x-1=(an+an)-1=(an+2·a+an)-1=(an-2·a+an)=(an-an).
44442
1n?1n具有对称性,它们的积是常数1,为我们解题提供了思路,必
11222211??11n这时应看到x-1=(a?an)2=|an-an|.
24111121n?n1n?n21n?n222
解：将x=(a+a)代入x-1,得x-1=(a+a)-1=(a-a).
244??11n所以x-1=(a?an)2=|an-an|,
24111111111121?11111n?n1n?n?an,a?1,2x+x-1=(a+a)+ |a-a|=?1
22?a?n,0?a?1.??a,a?1,n?所以(x+x2-1)=?1
,0?a?1.?a?点评：运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键,要深刻理解这种做法. 例3若函数f(x)的定义域是(
1,3］,求f(log3x)的定义域. 2活动：学生思考,小组讨论,教师引导,学生展示思维过程,教师评价.根据你的学习经历,回顾求一个函数的定义域的方法.已知抽象函数f(x)的定义域,求抽象函数f［g(x)］的定义域,要借助于f(x)的定义域来求,由于函数f(x)的定义域是(范围就是(
1,3］,所以f(log3x)中的log3x的21,3］,从中解出x,即为f(log3x)的定义域. 211解：因为函数f(x)的定义域为(,3］,所以f(log3x)中的log3x的范围就是(,3］,
22即0.5＜log3x≤3,即3＜x≤9.
因此函数f(log3x)定义域为(3,9］.
点评：求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值范围,对复合函数的定义域要严格注意对应法则. 变式训练 1.求函数y=
15
x1?x
的定义域.
?1
2.求函数f(x)=()?1的定义域. 答案：1.{x|x≠0且x≠1}.2.{x|x≤0}. 思路2
19x1?2x
例1求函数y=的定义域、值域和单调区间. x
4
活动：学生观察,思考交流,独立解题,教师要求学生展示自己的思维过程.求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值范围;函数的值域要根据定义域来求;求函数的单调区间一般用定义法,有时也借助复合函数的单调性.由于自变量处在指数位置上,分母是一个指数式,因此自变量取值无限制;值域转化为二次函数,单调区间用复合函数的单调性确定.
1?2x
解：函数y=的定义域是全体实数, x
4
1x121121111?2x
()?????因为y===［()］≥,所以函数的值域为［,+∞).
224442x2x4x
1x
),则它在(-∞,+∞)上单调递减, 211121而二次函数y=(u?)?在u≤时是减函数,在u≥时是增函数,
22241x11x1令()≤,则x≥1,令()≥,则x≤1,
2222设u=(
1?2x所以函数y=在［1,+∞)上是增函数,在(-∞,1］上是减函数. x
4
点评：这里求函数值域的方法是配方法,求单调区间是用复合函数的单调性确定的. 例2已知函数f(x)=x(
11+). x2?12(1)指出函数的奇偶性,并予以证明；
(2)求证：对任何x(x∈R且x≠0),都有f(x)＞0.
解：(1)因为f(x)的定义域是不为0的实数,关于原点对称, 又f(-x)=-x(
12?x111112x2x
?)=x(x+)=x(x-1+)=x(x+)=f(x),所以
2?122?122?122?1
f(x)是偶函数.
x
(2)当x＞0时,2＞1,所以f(x)＞0.
当x＜0时,由f(x)为偶函数,有f(x)=f(-x)＞0. 所以对一切x∈R,x≠0,恒有f(x)＞0.
点评：利用函数的奇偶性常可使解法简化,如本题,当x＜0时,证明f(x)＞0较繁,若注意到f(x)为偶函数,则只需证明当x＞0时,f(x)＞0,而这是显然的. 知能训练
课本P82复习参考题A组 1、3、4、6、8、10. 拓展提升
问题：已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点,过 A作x轴的垂线,垂足为E,过点B作y轴的垂线,交EA于C,若 C恰好在函数y=log2x的图象上,试求A、B、C三点的坐标.
活动：学生先仔细审题,理解题目的含义,然后思考交流,教师适当时候提示指导. 画出函数的图象,设出点的坐标,由图形间的关系建立方程求解. 解：先画出函数的图象如图.
图2-1
设A(x1,log8x1)、B(x2,log8x2),
则C(x1,log8x2).因为C在函数y=log2x的图象上, 所以log8x2=log2x1,即所以x2=x1. 又
3
1log2x2=log2x1. 3x1OEOFx2=,即=, EAFBlog8x1log8x23
3
所以x1log8x1=x1log8x1.
3
所以3x1log8x1=x1log8x1.由x1>1,所以log8x1≠1. 从而有3x1=x1.所以x1=3,x2=33.
3
所以A、B、C三点的坐标分别为A(3,log83)、B(33,log833)、C(3,log23). 课后作业
课本P82复习参考题A组 2、5、7、9.
设计感想
本堂课是对过去学过的一章知识进行复习,目的是构建知识体系,形成知识网络,总结解题的方法规律和思想,以便综合运用这些知识,使学生能够见题想法,见题有法,能够做到一题多解,触类旁通,由于涉及的知识点和方法思想较多,所以设计的题目也较多,要注意解题方法的总结和提炼,希望加快处理速度,提高课堂复习效果,做到以不变应万变,使全体同学在知识和技能上都有较大的提高.