信息工程学院(课程设计)
f?x?k??x?k???fx?k? (2－4) x?k?1??x?k???x?k? (2－5)
????上两式中：f??x?是函数f?x?对于变量x的一阶偏导数矩阵，即雅可比矩阵J；
k为迭代次数。
由式（2－4）和式子（2－5）可见，牛顿法的核心便是反复形成求解修正
方程式。牛顿法当初始估计值x?0?和方程的精确解足够接近时，收敛速度非常快，具有平方收敛特性。
2.3 潮流计算的修正方程
运用牛顿－拉夫逊法计算潮流分布时，首先要找出描述电力系统的非线性方程。这里仍从节点电压方程入手，设电力系统导纳矩阵已知，则系统中某节点（i节点）电压方程为
????Si?YU??ijj?? ???j?1?Ui?n?从而得
Si?Ui?YijUj
j?1??n??进而有
?Pi?jQi??Ui?YijUj?0
j?1?n?? （2－
6）
式（2－6）中，左边第一项为给定的节点注入功率，第二项为由节点电压求得的节点注入功率。他们二者之差就是节点功率的不平衡量。现在有待解决的问题就是各节点功率的不平衡量都趋近于零时，各节点电压应具有的价值。
由此可见，如将式（2－6）作为牛顿－拉夫逊中的非线性函数F?X??0，其
中节点电压就相当于变量X。建立了这种对应关系，就可列出修正方程式，并迭代求解。但由于节点电压可有两种表示方式——以直角做表或者极坐标表示，因而列出的迭代方程相应地也有两种，下面分别讨论。
2.4 直角坐标表示的修正方程
节点电压以直角坐标表示时，令Ui?ei?jfi、Uj?ej?jfj，且将导纳矩阵中
??元素表示为Yij?Gij?jBij，则式（2－7）改变为
6
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?Pi?jQi???ei?jfi???Gij?jBij??ej?jfj??0
j?1n （2－
7）
再将实部和虚部分开，可得
?Pi??ei?Gijej?Bijfj??fi?Gijfj?Bijej??0?j?1? ? nQi??fi?Gijej?Bijfj??ei?Gijfj?Bijej??0??j?1?n???? （2－
8）
这就是直角坐标下的功率方程。可见，一个节点列出了有功和无功两个方程。
对于PQ节点（i?1，，给定量为节点注入功率，记为Pi?、Qi?，则2,?,m?1）
由式（2－8）可得功率的不平衡量，作为非线性方程
??Pi?Pi???ei?Gijej?Bijfj??fi?Gijfj?Bijej??j?1?? n?Qi?Qi???fi?Gijej?Bijfj??ei?Gijfj?Bijej???j?1?n???? （2－
9）
式中?Pi、?Qi——分别表示第i节点的有功功率的不平衡量和无功功率的不平衡量。
对于PV节点（i?m?1,m?2,?,n），给定量为节点注入有功功率及电压数
值，记为Pi?、Ui?，因此，可以利用有功功率的不平衡量和电压的不平衡量表示出非线性方程，即有
??Pi?Pi???ei?Gijej?Bijfj??fi?Gijfj?Bijej??j?1?
??Ui2?Ui?2?ei2?fi2?n?? （2－10）
??式中?Ui为电压的不平衡量。
对于平衡节点（i?m），因为电压数值及相位角给定，所以US?es?jfS也确因此，对于n个节点的系统只能列出2?n?1?个方程，其中有功功率方程?n?1?个，无功功率方程?m?1?个，电压方程?n?m?个。将式（2－9）、式（2－10） 非线性方程联立，称为n个节点系统的非线性方程组，且按泰勒级数在fi?0?、ei?0??定，不需要参加迭代求节点电压。
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（i?1,2,?,n,i?m）展开，并略去高次项，得到以矩阵形式表示的修正方程如下。
?H11??P1???Q??J?1??11??P2??H21????Q?2??J21?????????P?p??Hp1??U2??Rp1p?????????P??H?n??n12???Un????Rn1N11L11N21L21Np1Sp1Nn1Sn1H12J12H22J22Hp2Rp2Hn2Rn2N12L12N22L22Np2Sp2Nn2Sn2H1pJ1pH2pJ2pHppRppHnpRnpN1pL1pN2pL2pNppSppNnpSnpH1nJ1nH2nJ2nHpnRpnHnnRnnN1n???f1???e?L1n???1?N2n???f2????L2n???e2???????? （2－11） Npn???fp?Spn???ep????????Nnn???fn????Snn???en????上式中雅可比矩阵的各个元素则分别为
Hij???Pi ?fj??Qi ?fjNij???Pi ?ej??Qi ?ej
Jij?Lij?
??Ui2 Rij??fj??Ui2 Sij??ej将（2－11）写成缩写形式
??P??HN???????f???J???f? （2－12） ?Q?JL??e???????e???????U2???RS????对雅可比矩阵各元素可做如下讨论：
当j?i时，对于特定的j，只有该特定点的fi和ei是变量，于是雅可比矩阵中各非对角元素表示为
Hij???Pi?Bijei?Gijfi ?fj??Qi?Bijfi?Gijei ?fjNij???Pi??Gijei?Bijfi ?ej??Qi??Gijfi?Bijei ?ej
Jij?Lij? 8
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??Ui2Rij??0
?fj??Ui2Sij??0
?ej当j?i时，雅可比矩阵中各对角元素的表示式为
n??PiHij?????Gijfj?Bijej??Giifi?Biiei
?fjj?1n??PiNij?????Gijej?Bijfj??Giiei?Biifi
?ejj?1n??QiJij?????Gijej?Bijfj??Giiei?Biif
?fjj?1n??QiLij?????Gijfj?Bijej??Giifi?Biiei
?ejj?1
??Ui2Rij???2fi
?fj??Ui2Sij???2ei
?ej由上述表达式可知，直角坐标的雅可比矩阵有以下特点：
1) 雅可比矩阵是2?n?1?阶方阵，由于Hij?Hji、Nij?Nji等等，所以它是一个不对称的方阵。
2) 雅可比矩阵中诸元素是节点电压的函数，在迭代过程中随电压的变化而不断地改变。
3) 雅可比矩阵的非对角元素与节点导纳矩阵YB中对应的非对角元素有关，当YB中的Yij为零时，雅可比矩阵中相应的Hij、Nij、Jij、Lij也都为零，因此，雅可比矩阵也是一个稀疏矩阵。
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3 程序设计
3.1 程序流程图
输入原始数据形成节点导纳矩阵设电压初值e(0)、f(0)设迭代次数k=0计算误差向量?P(k)、?Q(k)、?U2(k)收敛否否求雅可比矩阵元素解修正方程，求解?e(k)、?f(k)修正节点电压e(k+1)=e(k)-?e(k)f(k+1)=f(k)-?f(k)K=K+1K>Kmax不收敛停机求PU节点无功功率，求平衡节点功率是求支路功率分布和损耗停机 3.2 潮流计算程序运行结果如下：
请输入节点数：n=4 请输入支路数:n1=4
请输入平衡母线节点号isb=4 请输入误差精度pr=0.00001
请输入由之路参数形成的矩阵B1=[1 2 0.1+0.4i 0.3056i 1 0;1 3 0+0.3i 0 1.1 0;1 4 0.12+0.5i 0.0382i 1 0;2 4 0.08+0.4i 0.02826i 1 0]
请输入各节点参数形成的矩阵B2=[0 -0.3-0.18i 1 0 0 2;0 -0.55-0.13i 1 0 0 2;0 0.5+0i 1 1.1 0 3;0 0 1 1.05 0 1] 节点号和对地参数:X=[1 0;2 0;3 0;4 0] 导纳矩阵Y=
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