uR1?R1i1?4.5?2?9V 对左边回路列KVL方程有
uR1?us?u1?0 则 u1?us?uR1?10?9?1V 从图中右边回路的KVL方程的
R2i2?3u1?uR1?0 i2?uR1?3u1R2?9?3?1?6A 1 注：本题求解中主要应用了KVL。KVL是描述回路中各支路（或各元件）电压之间关系的，它
反映了保守场中做功与路径无关的物理性质。应用KVL列回路电压方程时 ，应注意：（1）首先要指出回路中各支路或元件上的电压参考方向，然后指定有关回路的绕行方向（顺时针或逆时针均可）；（2）从回路中任一点开始，按所选绕行方向依次迭加各支路或元件上的电压，若电压参考方向与回路绕行方向一致，则该电压取正值，否则取负值。
1-16 对图示电路，若：（1）R1,R2,R3值不定；（2）R1?R2?R3。
在以上两种情况下，尽可能多的确定其他各电阻中的未知电流。
解：设定各电阻中未知电流的参考方向如图所示。
（1）若R1,R2,R3值不定，i1,i2,i3不能确定。对图中所示闭合面列KCL方程，根据 流进的电流等于流出的电流有
i4?3?4?6?1A
对A点列KCL方程，可以解得
i5?i4?2?(?10)?1?2?10?13A
（2）若R1?R2?R3，对右边回路和B，C结点列KVL和KCL方程，有
?R1i1?R2i2?R3i3?0?i1?3?i2 ? ?i2?i3?4?把方程组整理，代入R1?R2?R3的条件，得
?i1?i2?i3?0??i1?i2?3 ?i?i?4?23应用行列式法解上面方程组
10111?110410111110?10 ?104??1?10?3 ?1?3?110?2?130?1 ?3?1?13??11
04?1所以 i1???110?11?A, i2?2?1A , i3 ?3 ??A
3?3?3?。 i4,i5的值同（1）
注：从本题的求解过程中可以看出KCL是描述支路电流之间关系的，而与支路上元件的性质无
关。KCL实质是反映电荷守恒定律，因此，它不仅适用于电路中的结点，对包围部分电路的闭合面也是适用的。应用 KCL列写结点或闭曲面电流方程时应注意：（1）方程是依据电流的参考方向建立的，因此，列方程前首先要指定电路中各支路上电流的参考方向，然后选定结点或闭曲面；（2）依据电流参考方向是流入或流出写出代数方程（流出者取正号，流入者取负号，或者反之。也可以用流入等于流出表示）。
1-17 图示电路中，已知u12?2V,u23?3V,u25?5V,u37?3V,u67?1V，尽可能多地确定其他各元件的电压。
解：已知ub?u12?2V,ud?u23?3V,uc?u25?5V,uj?u67?1V，选取回路列KVL方程。
对回路（①②⑤①）有 ua?u15?u12?u25 所以 ua?2?5?7V
对回路（①②③①）有
uk?u13?u12?u23?2?3?5V
对回路（②③④⑦⑥⑤②）有
u23?u37?u67?u56?u25?0
所以
uf?u56?u23?u37?u67?u25 ?3?3?1?5?0V
对回路（③④⑦⑥③）有
ue?u36?u37?u67?3?1?2V
对回路（⑤⑥⑦⑤）有
ui?u57?u56?u67?0?1?1V
1-18 对上题所示电路，指定个支路电流的参考方向，然后列出所有结点处的KCL方程，并说明这些方程中有几个是独立的。
解：支路电流的参考方向如图所示，各结点的KCL方程分别为（以流出结点的电流为正）
①ia?ib?ik?0 ②?ib?ic?id?0 ③?id?ig?ie?ik?0 ⑤?ia?ic?if?ii?0
⑥?ie?if?ij?0 ⑦?ij?ii?ig?0
把以上6个方程相加，得到0?0的结果。说明6个方程不是相互独立的，但是其中任意5个方程是相互独立的。
注：一个有n个结点的电路，依KCL列结点电流方程，则n-1个方程将是相互独立的。这是
因为任一条支路一定与电路中两个结点相连，它上面的电流必定从其中一个结点流出，又流入另一个结点，因此，在n个KCL方程中，每个支路电流一定出现2次，一次为正，另一次为负，若把n个方程相加，必定得到等于零的恒等式。即n个KCL方程不是相互独立的，但从n个方程中任意去掉一个结点电流方程，余下的n-1个方程是相互独立的。
1-19 电路如图所示，按指定的电流参考方向列出所有可能的回路的KVL方程。这些方程都独立吗？
解：图示电路共有题解1-19图所示的7个回路，其KVL方程分别为（取顺时针绕行方向）：
①R1i1?R2i2?R5i5?us5?us1?0 ②R4i4?R6i6?us5?R5i5?0
③R2i2?R4i4?R6i6?us1?R1i1?0 ④R3i3?us3?R6i6?us1?R1i1?0 ⑤R3i3?R4i4?R2i2?us3?0
⑥R3i3?R4i4?R5i5?us5?us3?R1i1?us1?0 ⑦R3i3?R6i6?us5?R5i5?R2i2?us3?0 从以上方程不难发现有下列关系存在，即：
①+②=③ ①+⑤=⑥ ⑤+②=⑦ ①+②+⑤=④
由此说明，从方程①，②，⑤可以导得方程③，④，⑥，⑦，同样从方程④，⑤，⑥可以导得方程①，②，③，⑦等等，这说明7个KVL方程不是相互独立的，独立的方程只有三个。
注：对于一个有n个结点，b条支路的电路，可以证明，其独立的KVL方程数为（b-(n-1)）
个。把能列写独立方程的回路称为独立回路，本题有结点n=4，支路b=6，所以其独立的回路数为b-(n-1)=3。一般在列KVL方程时，独立回路可以这样选取：（1）使所选各回路都包含一条其它回路所没有的新支路；（2）对平面电路，其网孔即为独立回路，如本题中方程①，②，⑤即为按网孔列出的KVL方程，它们是相互独立的。
1-20 利用KCL和KVL求解图示电路中的电压u。
解：在（a）图中设电流i，右边网孔的KVL方程为
22i?88i?10