毕 业 论 文
论文题目： 高等代数中的问题
系 别 数学系 专 业 数学教育 班 级 10数教（1）班 学 号 131002005 姓 名 镡小弛 指导教师 连玉平
2013年5月15
日
定西师范高等专科
10级学校数学系毕业论文开题报告
专业班级: 数学教育一班 姓名:镡小弛 指导教师:连玉平 一 论文题目:高等代数中的问题 二 选题依据: 高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步 、多项式代数。 三 相关理论研究综述: 高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。。 四 研究方法: 本文尝试在对高等代数基础知识的掌握，高等代数中一些常见的问题，对矩阵的探讨这三个方面作一些较深入的整理和研究．以加深对代数的工具性作用的认识． 五 论文结构: 一、摘要 二、化二次型为标准型 三、小结 四、参考文献 六 撰写计划: 充分运用有关数学思想，寻求矩阵灵活多样的运算思路，深入挖掘题目中的隐含条件，寻找简捷的运算途径。在矩阵运算中，学生思维受阻的一个重要原因往往是对矩阵的基本知识及其算法缺少整体的把握，所以在运算求解时应引导学生实现矩阵运算形式相互间的有效转换。运用转化﹑方程的数学思想，去解决高等代数中一些常见的问题。
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目 录
摘要： .............................................................................................................................................. 3 关键词： .......................................................................................................................................... 3 一、消元法 ...................................................................................................................................... 3
（一）、n维向量及其性质的引入 .......................................................................................... 5
1．n维向量的引入 .......................................................................................................... 5 2．n维向量运算的引入 .................................................................................................. 5 （二）、线性相关性的引入 ..................................................................................................... 6
1．线性组合的引入 ......................................................................................................... 6 2．线性相关与线性无关的引入 ..................................................................................... 7 （三）、极大线性无关组与秩的引入 ..................................................................................... 8
1．极大线性无关组的引入 ............................................................................................. 8 2．秩的引入 ..................................................................................................................... 9 （四）、矩阵的引入 ................................................................................................................. 9
1．矩阵与矩阵的秩 ......................................................................................................... 9 2．矩阵的运算 ............................................................................................................... 10 （五）消元法的回归 ............................................................................................................. 11 二、化二次型为标准型 ................................................................................................................. 12 三、小结 ........................................................................................................................................ 14 四、参考文献 ................................................................................................................................ 14
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摘要：在学习高等代数的过程中，如果采用这样的方式，即提出问题，然后引出解决该问题的工具、引理、定理、推论来解决问题，并举一反三，就能更加深刻地理解高等代数相关知识、定理的内涵，并能够灵活运用。下面举两个简单的例子。 关键词：高等代数 推论 运用
一、消元法
在线性方程组这一章中，我们讨论了一般线性方程组求解的问题。所谓一般
x1?a12x2???a1nxn?b1,?a11线性方程组是指形式为
?ax?ax???ax?b,?2112222nn2 ? （1.1）
?????的方程组，其中?ax,x2?,a..x.n,代表n个未知量，s是方程的个数，
s2x2???asnxn?bs?1s1x1称为常数项。aij(i=1,2,?,s,j=1,2,?,n)称为方程组的系数，bj（j=1,2,?,s）我们解方程组（1.1）一般采用消元法。
在中学里我们学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组，分
析一下不难看出，它是通过对方程的不断变换，达到化简消元的目的。而所作的变换无非由以下三种基本变换组成：
1．用一非零的数乘某一方程
2．把一个方程的倍数加到另一个方程 3．互换两个方程的位置
这样的三个变换我们称之为线性方程组的初等变换。
事实上，消元法求解线性方程组比用行列式解方程组更具有普遍性。下面就先来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组。
对于方程组（1.1），我们首先要讨论x1的系数。如果x1的系数a11,a21,?,as1全为零，那么方程组（1.1）对x1没有任何限制，也就是说，x1可以取任意值。这样，方程组（1.1）就可以看作x2,...,xn的方程组来解。如果x1的系数不全为零，
a不妨设a11?0，为了消元化简，分别地把第一个方程的?i1倍加到第i个方程
a11（i=2,?,s）。于是方程组（1.1）就变成了
?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,?'''a22x2???a2?nxn?b2, ? （1.2）
............?'''ai1?'ax???ax?b,s22snns? 其中aij?aij??a1j，i=2,?,s, j=2,?,n a11
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?c11x1?c12x2?...?c1rxr?...?c1nxn?d1,再对（1.2?）中的第二个方程作如上初等变换，并一步一步地作下去，最后c22x2?...?c2rxr?...?c2nxn?d2,?就得到一个阶梯形方程组。为了讨论方便，不妨设方程组为
?............?crrxr?...?crnxn?dr,? ? （1.3）
0?dr?1,??0?0,其中cii?0, i?=1,2,?,r ......??0?0.? 可见，消元的过程的就是反复进行初等变换的过程，实际上，初等变换总是
把方程组变成同解的方程组。因此，我们通过一系列初等变换所得到的阶梯型方程组（1.3），与方程组（1.1）的解相同。所以我们得到：消元法是利用同解方程组的原理，把线性方程组化简成阶梯形方程组，再进行求解的方法。
现考察（1.3）的解的情况
<1> (1.3)中有方程0?dr?1, 而dr?1?0，这时不管x1,x2,...,xn取任何值都不
能使它成为等式，因此（1.3）无解。
<2> 当dr?1是零或(1.3)中根本没有“0?0”的方程时，分两种情况：
1）r?n。这时阶梯形方程组为 ?c11x1?c12x2?...?c1nxn?d1,?c22x2?...?c2nxn?d2,? （1.4） ?............??cnnxn?dn,?其中cii?0，i=1,2,?,n. 由最后一个方程开始，xn,xn?1,...,x1的值就可以逐个地唯一地确定了。此时，方程组（1.4）也就是方程组（1.1）有唯一的解。 2）r?n. 这时阶梯形方程组为
?c11x1?c12x2?...?c1rxr?c1,r?1xr?1?...?c1nxn?d1,?c22x2?...?c2rxr?c2,r?1xr?1?...?c2nxn?d2,? ?............??crrxr?cr,r ?1xr?1?...?crnxn?dr,.?i=1,2,?,r. 把它改写成其中cii?0，?c11x1?c12x2?...?c1rxr?d1?c1,r?1xr?1?...?c1nxn,?c22x2?...?c2rxr?d2?c2,r?1xr?1?...?c2nxn,? （1.5） ?............??crrxr?dr?cr,r?1xr?1x?,...?crnxn,.?xr?1,...,xn一组值，就唯一地定出由此可见，任给1x2,...,xr的值，也就是定出方
程组（1.5）的一个解。由（1.5）我们可以把x1,x2,...,xr通过xr?1,...,xn表示出来，这样一组表达式称为方程组（1.1）的一般解，而xr?1,...,xn称为一组自由未知量。
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