专题强化练十 空间几何体的三视图、表面积及体积
一、选择题
1．如图，在正方形ABCD-A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的正投影可能是( )
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
解析：图①是△PAC在底面上的投影，④是△PAC在前后侧面上的投影．因此正投影可能是①④，选项B正确．
答案：B
2．(2018·烟台二模)某几何体的三视图如2题图所示，其中俯视图右侧曲线为半圆弧，则几何体的表面积为( )
A．3π＋42－2 C.
3π
＋22－2 2
B．3π＋22－2 D.
3π
＋22＋2 2
解析：由三视图，该几何体是一个半圆柱挖去一直三棱柱形成．依题设知，几何体的底面面积S底＝π×1－(2)＝π－2.
1
所以该几何体表面积为S＝2(2×2)＋(2π×1×2)＋S242－2.
答案：A
3．(2018·北京卷)某四棱锥的三视图如3题图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形
底
2
2
＝42＋2π＋π－2＝3π＋
1
的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥P-ABCD，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3.
答案：C
4．中国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的正视图和俯视图如图所示，则该“堑堵”的侧视图的面积为( )
272A．186 B．183 C．182 D.
2解析：在俯视图Rt△ABC中，
作AH⊥BC交于H.
由三视图的意义，则BH＝6，HC＝3，
根据射影定理，AH＝BH·HC，所以AH＝32.易知该“堑堵”的侧(左)视图是矩形，长为6，宽为AH＝32，故侧视图的面积S＝6×32＝182.
答案：C
2
2
5．(2018·北京西城质检)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O-ABC的体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A．36π B．64π C．144π D．256π
解析：因为△AOB的面积为定值，所以当OC垂直于平面AOB时，三棱锥O-ABC的体积取1122
得最大值．由×R×R＝36，得R＝6.从而球O的表面积S＝4πR＝144π.
32
答案：C
6．(2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D-ABC体积的最大值为( )
A．123 B．183 C．243 D．543 解析：设等边△ABC的边长为x， 12
则xsin 60°＝93，得x＝6. 2
6
设△ABC外接圆的半径为r，则2r＝，得r＝23.
sin 60°所以球心到△ABC所在平面的距离d＝4－（23）＝2， 则点D到平面ABC的最大距离d1＝d＋4＝6.
11
故V三棱锥D-ABC的最大值为·S△ABC×6＝×93×6＝183.
33答案：B 二、填空题
7．(2018·浙江卷改编)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm)是________．
3
2
2
1
解析：由三视图知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以其体积V＝×(1
2＋2)×2×2＝6.
答案：6
3
8.(2018·济南市模拟)某几何体的三视图如图所示，其中主视图的轮廓是底边为23，高为1的等腰三角形，俯视图的轮廓为菱形，左视图是个半圆．则该几何体的体积为________．
解析：由三视图知，几何体是由两个大小相同的半圆锥的组合体．其中r＝1，高h＝3. 132
故几何体的体积V＝π×1×3＝π.
33答案：
3
π 3
9．已知长方体ABCD-A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，E为AA1的中点，
OA⊥平面BDE，则球O的表面积为________．
解析：取BD的中点为O1，连接OO1，OE，O1E，O1A. 则四边形OO1AE为矩形，
因为OA⊥平面BDE，所以OA⊥EO1，
即四边形OO1AE为正方形，则球O的半径R＝OA＝2， 所以球O的表面积S＝4π×2＝16π. 答案：16π
10．(2018·郑州调研)某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为________．
2
112解析：由三视图可知，该几何体是由半个圆柱与个球组成的组合体，其体积为×π×1
8214π5π3
×3＋××1＝. 833
5π答案： 3
11．(2018·烟台质检)已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为
4
2的正三角形，PA，PB，PC两两垂直，则球O的表面积是________． 解析：设球O的半径为R， 且2R＝PA＋PB＋PC.
因为△ABC是边长为2的正三角形，PA、PB、PC两两垂直． 所以PA＝PB＝PC＝
22
＝1，则2R＝3，
2
222所以球的表面积S球＝4πR＝3π. 答案：3π 三、解答题
12．(2018·佛山质检)如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA＝PB，AD∥BC，
AB＝AC，AD＝BC＝1，PD＝3，∠BAD＝120°，M为PC的中点．
12
(1)证明：DM∥平面PAB； (2)求四面体M-ABD的体积． (1)证明：取PB中点N，连接MN、AN.
1
因为M为PC的中点，所以MN∥BC且MN＝BC，
21
又AD∥BC，且AD＝BC，得MN綊AD，
2所以ADMN为平行四边形，所以DM∥AN. 又AN?平面PAB，DM?平面PAB， 所以DM∥平面PAB.
(2)解：取AB中点O，连接PO，PO⊥AB. 又因为平面PAB⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD， 取BC中点H，连结AH，
因为AB＝AC，所以AH⊥BC，又因为AD∥BC，∠BAD＝120°，所以∠ABC＝60°， 1
Rt△ABH中，BH＝BC＝1，AB＝2，所以AO＝1，又AD＝1，
2△AOD中，由余弦定理知，OD＝3， Rt△POD中，PO＝PD－OD＝6，
5
2
2
112
所以VM-ABD＝·S△ABD·PO＝. 324
6