总 结
一、理论力学
理论力学是中级物理课程（四大力学及数学物理方法）中的第一门课程，除了内容在牛顿力学基础上有所深化之外，在认识论和方法论上与牛顿力学又有着显著地差别。
理论力学是研究物体机械运动一般规律的科学，根据不同的研究对象，分为质点力学和刚体力学，从研究内容来看包含运动学和动力学（研究运动不同层次即运动表象和动因），动力学分为静力学和动力学。
? 理论物理与基础物理暨理论力学的认识论和方法论
理论力学是物理系同学接触到的第一门侧重于培养理性思维能力的物理课程，是一门全新的课程。
基础物理：从物理现象出发，通过分析、归纳的方法得出物质运动的经验规律，强调从感性到理性的认识过程。
理论物理：从物理学的经验规律出发，创建一个理性的物理世界，然后通过逻辑演绎的方法推理出这个理性世界应该具有的各种各样的性质，在与现实的经验事实作比较，以检验其真伪，并探讨其实际应用的可能性，重点在于培养理性思维能力。
二、分析力学 1 分析力学的特点
分析力学与牛顿力学均是理论力学分支。
分析力学是建立在虚功（位移）原理和达朗贝尔原理基础上，注重质点和质点系的具有广泛意义的能量（其中涉及的物理量多数是标量，如动能、势能、拉格朗日函数、哈密顿函数等，动能和势能是最关键的量），同时扩大了坐标的概念，由此探讨物体机械运动规律。
分析力学是用新观点新方法来处理力学问题，具有更高的概括性，是力学理论发展的更高阶段，这一发展是与充分利用数学分析这一有力的数学工具分不开的。分析力学注重的物理量是功和能，从数学上讲，处理对象从矢量转变为标量，处理方法也从几何方法转变为数学分析的方法； 从应用来讲由于不同的领域都有能量的概念，因此它的思想方法可推广到其他领域；另外在处理一些较复杂的问题时分析力学较牛顿力学有更大的优越性。由于分析力学更加注重具有广义意义的能量及坐标思想，故它更便于推广于其它非机械运动领域。
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2 分析力学与牛顿力学
比较分析力学与牛顿力学可知：
第一、分析力学较牛顿力学具有更大的普适性。
二者出发点不同（牛顿力学为力、加速度等矢量；分析力学为功、能量等标量）。由于能量是一个广义的概念，力仅是力学范围内的一个物理量，所以分析力学思想方法（即从能量出发的一整套思想方法）向其它领域推广从而用分析力学的方法研究其它非力学领域的问题成为可能。
第二、从解题的方便程度上看分析力学较牛顿力学有以下几方面优势。 标量计算较矢量计算方便，而且不需要进行加速度分析；由于使用独立坐标描述体系位形而使要求解得方程个数达到最少；遵循统一有效的、易于掌握的解题步骤，使得复杂的物理问题的内在本质分析变成了简单的求解数学方程的问题，大大简化了复杂质点系动力学问题的分析和求解过程。
第三、分析力学较牛顿力学也有缺陷。
分析力学在求解简单问题是有时并不方便，而且由于应用了“广义化”的思想，故有些量的物理意义不太清晰。
由于分析力学中数学推理较多，在历史上也曾发生过一些不良的影响，有时容易使人忘记力学的物理实质。
牛顿力学与分析力学虽有各自的特点，但并非是独立的，它们具有同样的研究目标、同样的适用范围，因此它们统称为经典力学。
3 分析力学的基本要求
（1）分析力学的基本问题：机械运动的静力学问题和动力学问题。 （2）分析力学的基本内容
基本概念：力学体系、主动力、约束力、约束条件、约束的各种分类（几何约束与运动约束、稳定约束与不稳定约束、可解约束与不可解约束）、完整的力学体系、自由度、广义坐标、广义速度、广义动量。
虚功原理：虚位移及其与实位移比较、虚功、理想约束、虚功原理及应用。 拉格朗日方程：广义力及其求法、达朗贝尔惯性力及其与牛顿惯性力的关系、质点与质点系的达朗贝尔原理、达朗贝尔原理的意义、动静法、达朗贝尔-拉格朗日方程、拉格朗日函数、拉格朗日方程、保守体系的拉格朗日方程、拉格朗日方程的优缺点。
哈密顿正则方程：拉格朗日方程出发的勒让德变换、哈密顿函数、哈密顿
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正则方程。
（3）分析力学的基本要求
深刻理解分析力学所涉及到的基本概念；掌握拉格朗日函数和哈密顿函数的写法；牢固掌握虚功原理、各种形式的拉格朗日方程和哈密顿正则方程，并能熟练应用它们解决简单的力学问题，能将分析力学的思想方法推广应用于非机械运动领域。
分析力学的学习应注重理性思维的训练、方法的学习，知道如何从能量出发来研究不同领域的问题。
下面是分析力学的基本理论概述。分析力学内容分四个部分，即基本概念、虚功原理、拉格朗日方程和哈密顿正则方程。
第一部分：基本概念
一、概念（每一个基本概念都应该注重其内在本质）
1 力学体系—有相互作用质点组成的质点体系；或一群质点集合，若其中有相互作用以致某一质点运动都与其它质点的位置和运动有关，则这种集合称为力学体系。
关键点：质点体系；质点之间的运动相互影响
问题：质点间无相互作用体系是什么体系？确定其所有质点位置需要多少个量? 2 主动力—能够引起质点运动的力。 关键点：一般是已知的
问题：质点抛体运动中所受的主动力是什么力？ 3、约束
（1）约束力（约束反力、被动力）
凡是对质点系在运动中的位置坐标（直角、极、柱、球、其他）、位置对时间的导 数及时间之间存在某种关系，则我们说这个质点系受到约束，这个关系称之为约束方 程。约束力一般是未知的。
问题：约束对运动的限制是通过什么实现的？
问题：约束力取决于什么？什么是质点的自由运动？什么是质点的约束运动？ （2）约束条件
力学体系中限制各质点自由运动条件为约束条件，这些对质点自由运动的限制条 件称为该质点系的约束。n 个质点组成力学体系受到k个约束时，这些约束既要限制
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质点位置、速度，同时这些约束还会随时间变化，则约束方程普遍形式为
?1,y?1,z?2,y?2,z?n,y?n,z?1,x?2,?,x?n,t)?0f?(x1,y1,z1,x2,y2,z2,?,xn,yn,zn;x??1,2,?,k
（3）分类（依据不同可将约束分为不同的类别） 关键点：分类依据
? 几何约束和运动约束（约束是否限制质点的速度） 几何约束：f?(x1,y1,z1,x2,y2,z2,?,xn,yn,zn,t)?0 根据此约束是否随时间变化又分为稳定约束和不稳定约束。
ⅰ 稳定约束（定常约束）：f?(x1,y1,z1,x2,y2,z2,?,xn,yn,zn)?0 ⅱ 不稳定约束（非定常约束）：f?(x1,y1,z1,x2,y2,z2,?,xn,yn,zn,t)?0 问题：下面的几个约束属于什么约束？
质点m 的限制于一个倾角为 ? 斜面上运动，斜面分别固定于水平面和以加速度a在水平面上运动；理想气体的物态方程；一个质点在椭球面上运动，椭球中心以恒定速度v 沿x 轴移动，其长短轴随时间成比例的增加。
运动约束—不仅限制质点的位置还限制质点的速度的约束，也叫微分约束。
?1,y?1,z?2,y?2,z?n,y?n,z?1,x?2,?,x?n,t)?0f?(x1,y1,z1,x2,y2,z2,?,xn,yn,zn;x问题：运动约束有无可转化成几何约束的情况？
有，称为可积分的微分约束。这是运动约束中的一类特殊情况，积分后变为几何约束，此约束仍为完整约束。（见后面关于纯滚动题目）
? 可解约束与不可解约束（质点是否可脱离约束）
可解约束—质点虽被约束，但在某个方向可脱离原来约束，也叫单面约束。 不可解约束—虽然约束允许质点作一定的运动，但不允许质点从任何方向脱离这
种约束，也叫双面约束。
问题：稳定与不稳定约束是否有可解的和不可解的约束？可解与不可解约束是否也有稳定的和不稳定的约束？
问题：可解与不可解约束的约束方程是什么形式？判断下面各个约束的特点。
f?(x1,y1,z1,x2,y2,z2,?,xn,yn,zn)?0
f?(x1,y1,z1,x2,y2,z2,?,xn,yn,zn,t)?0
f?(x1,y1,z1,x2,y2,z2,?,xn,yn,zn)?0 f?(x1,y1,z1,x2,y2,z2,?,xn,yn,zn，t)?04、完整的力学体系（关注于研究对象的特点）
5、自由度—描述一个物体在空间的位置所需要的独立坐标，或在力学体系只受几
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oror?0
?0
何约束的情形下的独立坐标的数目。
6、广义坐标—确定完整力学体系位形的一组独立参数，或用来表示自由度概念中所述的独立变量的参数（也叫拉格朗日广义坐标），完整力学体系的自由度数等于独立坐标数。
问题：广义坐标的特点是什么？
广义坐标以隐含的方式包括了约束方程的要求；
广义坐标对应于不同的系统是用于确定其处于什么样的状态，此性质不仅仅指其位形性质，含同一态的所有性质，因此广义坐标还可以是除长度以外的其它描述物性的物理量，如力矩、面积、体积、电荷量、电极化强度、磁化强度等。
广义坐标的选择不止一种，视具体情况而定。
问题：为什么叫广义坐标？（对比于功的广义化的过程） 问题：辨析广义坐标与直角坐标。
一个力学体系由 n 个质点所形成 ，受 k 个几何约束，其自由度为 s = 3n – k ，把3n个不独立的坐标用 s 个独立参数及 t 表出 ，即 ：
二、习题
1、看下面两个问题，哪个是关于质点问题，哪个是关于力学体系问题。 将地球和太阳看成质点，忽略其它行星对地球的作用和太阳本身运动，则地球的运动是为我们所熟悉的质点运动。同样近似的条件下，讨论太阳系中其它行星的运动。
质点 m 被束于光滑水平平台上运动，质点上系一长为 l 的轻绳，绳穿过平台上小孔 o 另一端系一质点 m? ，讨论各质点运动情况。
2、用长为l的直杆将质点M1,M2联结起来构成一个力学体系，两质点在直角坐标系中的坐标为M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)，分析其自由度并写出其约束方程。
s?5;(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2?l2xi?xi(q1,q2,?,qs,t)??yi?yi(q1,q2,?,qs,t)?zi?zi(q1,q2,?,qs,t)??ri?ri(q1,q2,?,qs,t)(i?1,2,?,n,s?3n)(i?1,2,?,n,s?3n)（06光信第1组）
问题：若M1点接于坐标原点O ，该约束称为球面摆约束。上述约束方程形式是什么？若O点不静止，而是沿x方向有一恒定速率v ，约束方程是什么？
问题：若将细杆换成长为 l 的不可伸长的轻绳，在O 点固定和不固定时的约束方程是什么？是什么约束？
3、将上面问题中的 M1,M2 限制在oxy平面内运动，并用刚性杆将 M1 点与
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