2014届高三模拟考试
理科数学
本试卷共3页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题。（每小题5分，共40分）
z21. 已知复数z=1－i，则?
z?1A. 2 B. －2 C. 2i D. －2i 2. 已知a???2,?3,1?,?b??2,0,4?,?c???4,?6,2?，则下列结论正确的是
A. a//b,?b//c B. a//b,?a?c C. a//c,?a?b D. 以上都不对 3. 已知二次函数y=ax2＋bx＋c，则a,b,c∈{0,2,4,6,8}，则不同的二次函数有
A. 125个 B. 100个 C. 60个 D. 48个 4. f(x)=3x－cos2x在(－∞，＋∞)上
A. 是增函数 B. 是减函数 C. 有最大值 D. 有最小值 5. 已知直线l，m与平面α,β,γ满足???l，l//?，m??，m??，则有
A. ???且m//? B. ???且l?m C. m//?且l?m D. ?//?且??? 6. 等差数列{an}中，S10?90,a5?8，则a4=
A. 16 B. 12 C. 8 D. 6
7. 如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为
A. 63 B. 93 C. 123 D. 183
8. 设S是整数集Z的非空子集，如果任意a,b∈S，有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的. 若T,V是Z的两个不相
交的非空子集，T∪U=Z，且任意a,b,c∈T，有abc∈T；任意x,y,z∈V有xyz∈V，则下列结论恒成立的是 A. T, V中至少有一个关于乘法是封闭的 B. T, V中至多有一个关于乘法是封闭的 C. T, V中有且只有一个关于乘法是封闭的 D. T, V中每一个关于乘法都是封闭的
二、填空题。（每小题5分，共40分）
9. 随机抽取某产品n件，测得其长度分别为a1,a2,,an，则右图所示的程序框
图输出的s? （注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”） 10. 若正数x, y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是______.
2??411. x?x??的展开式中，x的系数是 （用数字作答）
x??12. 以下正确命题的为 ①命题“存在x?R，x?x?2?0”的否定是：“不存在x?R，x?x?2?0”； ②函数f(x)?x?()的零点在区间(,)内； ③在极坐标系中，极点到直线l:?sin(??)?④函数f(x)?e?x7221312x1132π42的距离是2．
?ex的图象的切线的斜率的最大值是?2；
⑤线性回归直线y?bx?a恒过样本中心x,y，且至少过一个样本点.
13. 某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm .因儿
子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm.
※ 选做题（考生只需要从14、15题中任选一题完成）
14. （几何证明选讲选做题）如上图，点A,B,C是圆O上的点， 且AB=4，∠ACB=45°，则圆O的面积等于 ．
???x?s,x?1?2t,15. （坐标系与参数方程选做题）若直线l1:?与直线（s为参数）垂直，则k? ． l:(t为参数)?2?y?1?2s.y?2?kt.??
三、解答题。（80分）
ωx
16. （12分）函数f(x)＝6cos2＋3sin ωx－3(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的
2
最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形． (1)求ω的值及函数f(x)的值域；
8 3?102?(2)若f(x0)＝，且x0∈??,?，求f(x0＋1)的值． 533??17. （12分）
为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：
编号 x y 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81 (1)已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
(2)当产品中的微量元素x,y满足x≥175，且y≥75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量； (3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列极其均值（即数学期望）。
P F 18. （14分）
如图，在锥体P－ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且∠DAB=60°，PA=PD=2 ，PB=2，E, F分别是BC, PC的中点. (1)证明：AD⊥平面DEF； (2)求二面角P－AD－B的余弦值.
19. （14分）
已知点F(0,1)，直线l：y=－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且QF?QF?FP?FQ． (1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)已知圆M过定点D(0,2)，圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA|=l1，|DB|=l2， 求
DA
CB
E Ｓ
Ｓ Ｓ
Ｓ
l1l2?的最大值． l2l1
20. （14分）
已知函数f?x??13x?ax2?bx?a,b?R?. 3(1)若曲线C：y=f(x)经过点P(1,2)，曲线C在点P处的切线与直线x+2y—14=0垂直，求a,b的值； 7??2(2)在(1)的条件下，试求函数g?x???m?1??f?x??x?（m为实常数，m??1）的极大值与极小值之差；
3??(3)若f(x)在区间(1,2)内存在两个不同的极值点，求证：0?a?b?2.
21. （14分）
已知曲线Cn：x2－2nx＋y2=0(n=1,2,…)。从点P(－1,0)向曲线Cn引斜率为kn(Cn>0)的切线ln，切点为Pn(xn,yn). （1）求数列{xn}和{yn}的通项公式； （2）证明：x1?x3?x5???x2n?1?1?xnx?2sinn. 1?xnyn
2014届高三模拟考试 理科数学 参考答案
1~8 ACBA BDBA
9. 【解析】s?10. 5 11. 84 12. ②③④
【解析】①命题的否定为“任意的x?R，x2?x?2?0”，所以不正确；②因为
a1?a2?????an
n111131112f(x)?x?()x，又f()?()3?()?0，f()?()3?()?0，所以函数的零点
2332222在区间(,)，所以正确；③把极坐标方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式求出极点
1311111132到直线的距离，22?sin???cos??2，即普通方程为x?y?2，则极点到直线的距22离为d?22?2，正确；④函数的导数为f'(x)??e?x?ex??(ex?1)??2，当且仅当xeex?1xe?1,x?0时取等号，所以正确；⑤线性回归直线y?bx?a恒过样本中心，即xe?x,y?，但不一定过样本点，所以不正确，综上正确的为②③④.
13. 185 选做 14.【解析】?k?(?2)??1，得k??1. 2015.【解析】解法一：连结OA、OB，则?AOB?90，∵AB?4，OA?OB， ∴OA?22，则S圆???(22)2?8?； 解法二：2R?
16. （12分）
πωx
ωx＋?. 解： (1)f(x)＝3(2cos2－1)＋ 3sin ωx＝3cos ωx＋ 3sin ωx＝23sin?3??2
依题设，等边△ABC的高为23，从而BC＝4.
42?42?R?22，则S???(22)?8?. 圆0sin452ππ
所以函数f(x)的周期T＝4×2＝8，即＝8，ω＝. ω4函数f(x)的值域为[－23，23]． 83
(2)因为f(x0)＝，
5
πx0π?83
由(1)有f(x0)＝23sin??4＋3?＝5， πx0π?4∴sin??4＋3?＝5.
102πππxπ
－，?，知0＋∈?－，?. 由x0∈??33?43?22?πx0π?所以cos??4＋3?＝
4?23
1－??5?＝5. πx0πππx0ππ?＋＋＝23sin??4＋3?＋? 故f(x0＋1)＝23sin??4??443???πx0π?ππx0ππ
＋cos＋cos?＋?sin? ＝23?sin??43?4???43?4423276
＝23×?×＋×?＝.
?5252?5
[规律方法] 此类题目往往先化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式再求解．(1)求y＝A sin(ωx＋φ)的单调区间要先化ω为正，然后把“ωx＋φ”整体看成一个变量，代入相应单调区间，解得x的范围即可，最终别忘了写成区间的形式．(2)2ππ函数y＝A sin(ωx＋φ)、y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为，函数y＝A tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
|ω||ω|
17.解：（1）乙厂生产的产品总数为5?（2）样品中优等品的频率为
14?35；-----------------------------------------------------3分 9822，乙厂生产的优等品的数量为35??14；-------------6分 55i2?iC2C3(i?0,1,2)，?的分布列为 （3）??0,1,2， P(??i)?2C5? P
0 1 2
3 103 51 10--------------------------------------------------------------------10分 均值E(?)?1?314?2??.--------------------------------------------------------------------12分 5105
18. 解：(1) 取AD的中点G，又PA=PD，?PG?AD，-----------------------------2分
由题意知ΔABC是等边三角形，------------------------------------------4?BG?AD，分
又PG, BG是平面PGB的两条相交直线，
P F ?AD?平面PGB，---------------------------5分
A
G DCB
E Ｓ
Ｓ