第1章 运动学
内容提要
一、运动学物理量：位矢r、位移?r、速度v、加速度a
1. 在直角坐标系中
r?xi?yj?zk （1-1）
x2?y2?z2 （1-2a）
?1i i?x,y,z (1-2b) 方向 ?i?tanr ?r??xi??yj??zk (1-3)
drdxdydz?i?j?k (1-4) v?dtdtdtdtdr 速率 v?v??vx2?vy2?vz2 (1-5)
dtdvdvdvdvx?i?yj?zk (1-6a) a?dtdtdtdtd2rd2xd2yd2z a?2?2i?2j?2k (1-6b)
dtdtdtdt大小 r?2. 在自然坐标系中
ds?? (1-7) dtdvv2? (1-8) a????ndt??? v?v?3. 在平面极坐标系中*
?0 (1-9) r?rrdrd????drr??v????rv??vrr? (1-10) dtdtdtd2rd?2d2?drd????[r2?2a?[2?r()]r]? (1-11)
dtdtdtdtdt二、圆周运动的角量描述
???(t) (1-12)
d? (1-13) dtd? ?? (1-14)
dt 线量与角量的关系 v???R (1-15) at?R? (1-16)
??三、两类运动学问题
1. 第一类：已知运动方程、求速度、加速度。 （导数运算） 几何法：求（或比较）x-t图、v-t图上曲线的斜率
2. 第二类：已知加速度函数和初始条件r0 和 v0，求运动方程。 （积分运算） 若a?a(t)，即加速度为时间的函数
vx?v0x? x?x0 ?adt （1-17） ??vdt （1-18）
0txt??0xy、z分量如出一辙。
条件合适时可用几何法求解，即求（或比较）a-t图、v-t图上曲线与坐标轴围定的面积。 若a?a(v)，以直线运动为例，由于a(v)?vdv dttdv则 ? ??dt （1-19）
v0a(v)0求出t，再解出v?v(t)，就可以求出运动方程了
x?x0?若a?a(x),由恒等变换 a(x)? 解出v?v(x)，再由v(x)? ?v(t)dt （1-20）
0tdvdvdxdv??v dtdxdtdxvv0?xx0 a(x)dx??vdv （1-21）
dx dtxtdx??dt （1-22） ?
x0v(x)0求出t，就可以解出运动方程了。
四、相对运动的描述方法
1. 约定系统
在地面参照系中建立直角坐标系xoyz，对地面以匀速u直线运动的参照系中建立直角
t?t??0坐标系x?o?y?z?。取x和x?轴沿相对运动的直线，y和 y?、z和z?分别平行。假定，
o?所在的参照系为惯性系s?。时刻，以后我们称o所在的参照系为惯性系s；o与o?相重合。
这样设定的条件称为约定系统。
2. 伽利略变换
在远小于光速的条件下，在约定系统中，两个不同惯性系上的观察者对同一质点运动的描述可能不同（物理量不同），这两套运动学物理量之间的转换关系称为伽利略变换，其形式为
??? r?ut?r? （1-23） 速度变换（速度合成公式） v?u?v? （1-24） 加速度变换 a?a? （1-25） 投影式见教材（1-35式）
解题指导与示例
例1-1 一艘巡逻艇离开港口并向正东航行了231km的距离，为躲避暴风雨，它转向东偏南42.1°航行了209km，然后又向东偏北54.8°航行了262km，求合位移的大小和方向（忽略地球表面的弯曲，假定所有的位移都位于同一平面内）。
解：作图、建坐标，将各段位移依次称为?ri（i?1,2,3），并将其在图中各坐标轴上投影，计算出投影分量，即
?x1?231km
?y1?0
?x2?209?cos(?42.1)?155km ?y2?209?sin(?42.1)??140km
?x3?262?cos54.8?151km
?y3?262?sin54.8?214km
y N W E
S
54.8° θ 42.3 ° X
注意?x2的角度用?42.1表示。因为从x轴正向顺时针度量角度为
负（依据右手螺旋法则）。合位移?r的两个分量分别为
?x??x1??x2??x3?537km
例1-1 图
?y?? y??y??y7?4km123给出了两个分量，合位移就算得到了。但按照题目的要求，必须明确给出合位移的大小和方向 ?r??x2??y2?542km
??tan?174?7.8
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例1-2 假设一长雪橇沿一直的雪坡向上滑，速度减慢至瞬时停顿后又往回滑下斜坡，分析雪橇的运动
2得出其运动方程为x?18?12t?1.2t(SI)。
请画出雪橇运动的x-t图；
求雪橇在1-7秒间的位移和路程；
求雪橇在1-7秒和1-4秒间的平均速度； 求雪橇速度随时间的函数关系； 画出雪橇在0-8秒间的v-t图； 求雪橇加速度随时间的函数关系；
解：由于运动有往返，找出折返时刻（由x-t图可以看出） 令 dx?0 （x极大点或者说是速度为零的点） 则 ?x?x(7)?x(1)?14.4m 1s?7sx(4)?x(1)平均速度 v??6m/s 1s?4sdt得 t?5s （这结果也可以由x-t图看出） 例1-2 图
s1s?7s?x(5)?x(7)?x(5)?x(1)?24m
4?1x(7)?x(1)??2.4m/s
7?1 v1s?7s（可见在变速运动中，不同时段的平均速度大小和方向都可能不一样） 雪橇的速度 v?dx?12?2.4t m/s
dt雪橇的加速度 a?dv?2.4 m/s2 （显然这是匀加速运动）
dt
例1-3 一质点沿半径为R的圆周运动，运动方程为s?bt?0.5ct2，b、c均为常数，且b?Rc，其切向加速度和法向加速度相等所经历的最小时间使多少？ 解：由于 v?ds?b?ct
dtdvat???c
dt2 a?v?(b?ct)
nRR2故，当at?an时 (b?ct)??c
R得 t?b?R mincc
例1-4 一作直线运动得质点，其加速度为a??kv（k为常数），t?0时x?0，v?v0。当质点速度减为v0/n（n?1）时，求质点经过得距离与质点所能行经的总距离之比。 解：由题设，质点任一时刻的加速度为
2 a?dv??kv
dtvdvt分离变量，积分 ??k?v0v?0dt 得 lnv??kt
v0所以
v?v0e?kt
xt再由 v?dx?ve?kt
0dt分离变量，积分
?0dx??v0e?ktdt
0得 x?v0(1?e?kt)?x(1?e?kt)
maxkv0是t??时的x值，即质点所能行经的总距离。（物理上不可能有t??，这是数学模型上k的问题。实际上，用不了很长时间，质点就能达到静止状态。因此，t??在物理上理解为“时间足够长”。） 设t1时刻，质点的速度减为v1?v0/n 式中xmax?于是 v1?1?e?kt1
n取对数，得 t?lnn
1k相应经过的距离x1与xmax之比为 x1?1?e?lnn?1?1
xmaxn另解：按原题的要求，只要找到v与x的关系就可以了，无需解出时间函数，这样一来解题过程可以简化。
由加速度的定义，利用恒等变换直接消去t
a?dv??kv?dvdx?dvv
dtdxdtdx ?kdx?dv 积分 ?kxdx?vdv
??0v0v0得 x?v0?v 当v?0时，x达到最大值 xmax所以，当质点速度减为v0/n（n?1）时
kv?0 kxxmax?v0?vv01/?1? kkn可以推出，在任一时刻，该质点的位置与速度遵循以下规律
xxmax?v?1 v0
例：1-5宽L的河流，流速与离岸的距离成正比，而两岸处的流速为零，河中心的流速为v0。一艘小船以恒定的相对速度vr垂直于水流从一岸驶向另一岸。在离岸L/4处因故突然调头，以相对速度vr/2垂直于水流驶回本岸。试求：①小船的运动轨迹；②小船返回后的靠岸点与原出发点之间的距离是多少？（较难的运动学综合题） 分析：
⑴为便于表述，建立直角坐标系。
⑵根据题目给定的条件写出河流流速u的函数表达式，再写出已知的船相对水流的速度vr的函数表达式，于是小船的绝对速度v?vr?u的表达式可得。 ⑶由v的两个坐标分量vx?dx及dy的表达式消去t，即可得到能确定小船轨迹的微分方程，然后积
vy?dtdt分，得到轨迹方程。
⑷用同样的方法，可得到小船返回本岸时的轨迹方程；全程轨迹得到后，位移自然可以给出。 解：取平面直角坐标，沿本岸水流方向为x轴，y轴指向对岸，坐标原点设于出发点。 设流速 u?ky i （k为比例系数）
由题意 y?0 处 u?0； y?L/2 处 u?v0 得 k?2v0/L
所以 u?2v0y i (0?y?L)
L小船的相对速度 vr?vr j
2于是，小船的绝对速度 v?u?vr?2v0y i?vr j Ldx2v0?v??yx?dtL 相应的坐标分量式为 ???v?dy?vyr?dt?消去dt，得 dx?2v0y
dyLvr分离变量 dx?2v0ydy
Lvr此即关于小船驶出阶段轨迹的微分方程。积分
?x0dx??y02v0ydy Lvr得 x?v0y2
Lvr这是一条抛物线。在离岸L/4处，小船的坐标为
vLvL?x?0()2?0 ?Lvr416vr ???y?L??4返回本岸阶段 v?u?1v?2v0Y i?vr j
r2L2（注意第二项，区别矢量和分量的符号表述）（为避免混淆，这里转而采用大写符号，以区别前段的运动）
dX2v0?vX??Y则 ??dtL ??v?dY??vrY?dt2?消去dt，得 dX??4v0Y
dYLvr分离变量 dX??4v0YdY
LvrYy此即小船返回本岸阶段轨迹的微分方程。积分（从前段的终点开始）
?XxdX???X??2v0YdY Lvr得
2v023v0L Y?Lvr16vr这仍然是一条抛物线。回到本岸时，小船的坐标为
3v0L ??X?16vr??Y?0?