全等三角形的判定
知识精要 全等形 能够重合的两个图形叫做全等形 全等三角形 （1）两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形。 （2）两个全等三角形，经过运动后一定能够重合，相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角叫做对应角。 注：（1）全等三角形并一定是两个图形之间的关系，还可能是多个图形之间的关系。 （2）全等图形也可以看作是把图形翻折，旋转、平移等变换而得到的图形，与原图形相比，它们只是位置发生了变化，而形状、大小都没有变；反过来说，两个全等图形经过这样的变换一定能够重合。 3.确定三角形形状和大小的三个元素有四种情况 （1）两角及夹边（2）两边及其夹角（3）三边（4）两角及其中一角的对边 注：知道两边及其中一边的对角时，一般不能确定三角形的形状，大小。 4．全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 5．全等三角形的判定 判定1：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等地，那么这两个三角形全等（SAS） 判定2：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等地，那么这两个三角形全等。（ASA） 判定3：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等（AAS） 判定4 ：在两个三角形中，如果有三条边对应相等地，那么这两个三角形全等（SSS） 热身练习 一．选择 1、如图1，ΔABD≌ΔCDB，且AB、CD是对应边；下面四个结论中不正确的是：（ C ） A、ΔABD和ΔCDB的面积相等 B、ΔABD和ΔCDB的周长相等 C、∠A+∠ABD =∠C+∠CBD D、AD//BC，且AD = BC 2．下列命题正确的是( D ) A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相同的两个三角形 C．两个周长相等的三角形是全等三角形 D．全等三角形的周长、面积分别相等 3、若△ABC和△A'B'C'的三边对应比值为1 , 则不正确的结论是（ D ） A．△ABC≌△A'B'C' B．三边对应相等 C．三对硬应角对应相等 D．△ABC与△A'B'C'不全等 4、如图,已知:EA⊥AB,BC⊥AB,D为AB的中点,BD=BC,EA=AB,则下面结论错误
1
的 （ D ） A.AC=ED B.AC⊥ED C.∠C+∠E=90° D.∠D+∠C=90° 5、在△ABC和△A'B'C'中 , 若∠A∶∠B∶∠C＝∠A'∶∠B'∶∠C' , 且AB＝A'B'下面的结论不成立的是（ C ） A．△ABC≌△A'B'C' B．∠A＝∠A ', ∠B＝∠B' , ∠C＝∠C' C．AC≠A'C' D．AC＝A'C', BC＝B'C'． 6、已知：如图 , AC=CD , ∠B=∠E=90° , AC⊥CD , 则不正确的结论是（ D ） A.∠A与∠D互为余角 B.∠A=∠2 C.△ABC≌△CED D.∠1=∠2 7．两个三角形的两边及其中一边所对的角相等，那么这两个三角形（ B ） A．一定不全等 B．不一定全等 C．一定全等 D．不能确定 8.两个三角形全等，下列说法不正确的是（ A ） A.它们的形状、大小、位置都相等 B.它们的对应角相等，对应边相等 C.它们的周长相等 D.它们经过运动变换后一定能重合 9．如图，△ACE≌△DBF，若∠E =∠F，AD = 8，BC = 2，则AB等于( C ) A．6 B．5 C．3 D．不能确定 10. 如图，ΔABC≌ΔADE，∠B = 70o，∠C = 26o，∠DAC = 30o，则∠EAC = ( B ) A．27o B．54o C．30o D．55o 二．解答题 AC与BD交于点O，且AB∥CD，AO=CO，OB=OD,AB=CD 写出图中的全等三角形 写出（1）中全等三角形的对应顶点，对应角和对应边。
2
ABOC 解：(1)△AOB≌△COD (2)对应顶点A、C,B、D 对应角∠A、∠C,∠B、∠D,∠AOB、∠COD； 对应边AB、CD,AO、OC,OB、OD 已知△ABD≌△ACE，AD=3cm，BD=1cm,BC=6cm,求△ADE的周长。 DABDEC 解：∵△ABD≌△ACE ∴AD=AE=3cm,BD=EC=1cm 又∵BC=6cm ∴DE=4cm ∴△ADE的周长为10 cm 精解名题 例1.如图5，已知ΔACF≌ΔDBE，∠E =∠F，AD = 9cm，BC = 5cm；求AB的长． 分析：AB不是全等三角形的对应边，但它通过对应边转化为AB = CD，而使AB+CD = AD?BC，可利用已知的AD与BC求得． 解：∵ΔACF≌ΔDBE，∠E =∠F ∴AC?BC = DB?BC，即AB = CD ∴AB+CD = 2AB = AD?BC = 9?5 = 4(cm) ∴AB = 2(cm) 说明：解决本题的关键是利用三角形全等的性质，得到对应边相等 例2. △ABC≌△DEF，∠A=30°,∠B=50°,BF=2，求∠DFE的度数与EC的长。 ECFD AB 解：∵∠A=30°,∠B=50° ∴∠ACB=100° ∵△ABC≌△DEF ∴∠ACB=∠DFE=100°,BC=EF
3
∵BC=BF+CF,EF=EC+CF ∴EC=BF=2 例3. 在△ABC中，点E在BC上，点D在AE上，且∠ABD=∠ACD，请再增加一个条件，使BE=CE成立。 ADB EC 解：∠BAD=∠CAD ∵∠BAD=∠CAD, ∠ABD=∠ACD,AD=AD ∴△ABD≌△ACD ∴AB=AC 又∵∠BAD=∠CAD,AE=AE ∴△ABE≌△ACE ∴BE=CE 例4.已知:如图,点A、B、C、D在同一条直线上,AC=DB,AE=DF,EA⊥AD,FD⊥AD,垂足分别是A、D.求证:BE∥CF 证明:∵AC=BD,∴AB=DC ∵AE=DF,EA⊥AD,FD⊥AD ∴∠A=∠D=90° ∴在△ABE和△DCF中 AB=DC,∠A=∠D,AE=DF ∴△ABE≌△DCF(SAS) ∴∠ABE=∠DCF ∴∠EBD=∠FCA ∴BE∥CF 备选例题 已知BD,CE是△ABC的高，点P在BD延长线上，BP=AC,点Q在CE上，CQ=AB，试证：AP=AQ且AP⊥AQ. APEFQDB C 证明：∵ BD,CE是△ABC的高 ∴∠BDC=∠BEC=90° ∴∠DCE+∠ECB+∠DBC=∠ECB+∠DBC+∠ABD ∴∠DCE=∠ABD 又∵AC=BP,AQ=AP ∴△ACQ≌△PBA ∴AP=AQ,∠CAQ=∠P 又∵∠P+∠PAD=90° ∴∠CAQ+∠PAD=90° ∴AP⊥AQ. 例2.已知：如图，在AB、AC上各取一点，E、D，使AE=AD，连结BD，CE，BD与CE交于O，
4
连结AO，∠1=∠2，求证：∠B=∠C 证明：在△AOE和△AOD中， ∵AE=AD，∠1=∠2，AO=AO ∴△AOE≌△AOD(SAS) ∴OE=OD，∠AEO=∠ADO ∴∠BEO=∠CDO，∠EOB=∠DOC ∴△OEB≌△ODC(ASA) ∴∠B=∠C 巩固练习 一．填空 1、三角形全等的四种判定方法是：①__SAS__ _②___ASA____③___AAS_ _④ _SSS__． 2、已知:如图,△ABC≌△FED,且BC=DE.则∠A=__∠F_____,AD=__CF_____． 3、已知:如图,△ABC≌△DFE,BC∥ EF,∠A=∠D,BC=EF,则另外两组对应边是 AB和 __DF,AC和DE _,另外两组对应角是__∠B和∠F,∠ACB和∠DEF___． 4、能够完全重合的两个图形叫做___全等形______． 5、△ABC以点B为旋转中心，A旋转到E，C旋转到D,这表明△ ABC ≌△ EBD CED AB 6.已知在△ABC和△A1B1C1中，AB=A1B1，∠A=∠A1，要使△ABC≌△A1B1C1，还需添加一个条件，．．这个条件可以是 ∠B=∠B1 . 7.如图，?BAC??ABD，请你添加一个条件： AD=BC ，使OC?OD（只添一个即可）．
5