∵CD?AC?2 ∴CQ?1，DQ?∴PC?DQ?3
3且CQ?AD??????????? 5分
∴此时四边形ACQD是梯形．
如图4，同理可证△PAC≌△QAD,?ADQ??ACP?90? 当AQ∥CD时，
?QAD??ADC?60?,?AQD?30?
∵AD?AC?2 ∴AQ?4，DQ?23 ∴PC?DQ?23 此时DQ与AC不平行，四边形ACDQ是梯形．
综上所述，这样的点P有两个，分别在C点两侧，当P点在C点左侧时，PC?当P点在C点右侧时，PC?23.??????????? 7分
12.（2013.西城一模24）解：（1）cos?=分
（2）分别将△PAB、△PBC、△PAC沿直线AB、BC、AC翻折，点P的对称点分别是
点D、E、F，连接DE、DF，（如图6）
则△PAB≌△DAB，△PCB≌△ECB，△PAC≌△FAC. ∴AD=AP=AF， BD=BP=BE，CE=CP=CF.
∵由（1）知∠ABC=30°，∠BAC=60°，∠ACB=90°， ∴∠DBE=2∠ABC=60°，∠DAF=2∠BAC=120°， ∠FCE=2∠ACB=180°.
∴△DBE是等边三角形，点F、C、E共线.
PDECB3；
3，△PMN周长的最小值为 3 ； ????22 ∴DE=BD=BP=10，EF=CE+CF=2CP=2. ∵△ADF中，AD=AF=2，∠DAF=120°， ∴∠ADF=∠AFD=30°.
∴DF=3AD =6.
∴EF2?DF2?10?DE2.
AF图6
∴∠DFE=90°. ?????????????????????4分 ∵S多边形BDAFE?2S?ABC?S?DBE?S?DFE?S?DAF，
∴2S?ABC?3112?(10)2??6?2??6??33?6. 4222
∴S?ABC?33?6. ?????????????????5分 2（3）∠APB=150°. ?????????????????????? 7分 说明：作BM⊥DE于M，AN⊥DF于N.（如图7） 由（2）知∠DBE=2?，∠DAF=180??2?. ∵BD=BE=n，AD=AF=m， ∴∠DBM=?，∠DAN=90???. ∴∠1=90???，∠3=?. ∴DM =nsin?，DN=mcos?. ∴DE=DF=EF. ∴∠2=60°.
∴∠APB=∠BDA=∠1+∠2+∠3=150°.
13.（2013.顺义一模24）
（1）证明：∵?GEB??BEF?90° ，?DEF??BEF?90°，∴?DEF??GEB. 又∵ED?BE，
∴Rt△FED≌Rt△GEB.
∴EF?EG. ?????????????????????2分
（2）成立.
证明：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，
则EH?EI，?HEI?90°.
∵?GEH??HEF?90° ，?IEF??HEF?90°，∴?IEF??GEH.
∴Rt△FEI≌Rt△GEH.
∴EF?EG. ?????????????4分
ANCD132BPMEF图7
，（3）解：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，则?MEN?90°
EM∥AB，EN∥AD. EMCEEN∴ ??.ABCAAD EMADa∴??.?????????????5分 ENABb
∴?GME??MEF?90° ，?FEN??MEF?90°，∴?MEN??GEM.
∴Rt△FEN∽Rt△GEM. EFENb∴??.?????????????7分 EGEMa
14.（2013.通州一模24）解：（1）过点A作AG?BC于点G . ∵∠ADB=60°，AD?2， ∴DG?1，AG? ∴ GB?3，
C3，
ADGBAG3 ∴ tan?ABG?， ?BG3第24题图 ∴?ABG?30o，AB?23， ?????? 1分； ∵ △ABC是等边三角形，
∴ ?DBC?90o，BC?23， ?????? 2分； 由勾股定理得：CD?DB?BC?4?23222??2?27. ?? 3分；
（2）作?EAD?60o，且使AE?AD，连接ED、EB. ???? 4分； ∴△AED是等边三角形， ∴AE?AD，?EAD?60o，
∵ △ABC是等边三角形， ∴AB?AC，?BAC?60o，
∴?EAD??DAB??BAC??DAB， 即?EAB??DAC，
∴△EAB≌△DAC. ?????? 5分； ∴EB=DC .
当点E、D、B在同一直线上时，EB最大，
∴EB?2?4?6， ?????? 6分； ∴ CD 的最大值为6，此时?ADB?120o. ?????? 7分.
CAED第24题图B
另解：作?DBF?60o，且使BF?BD，连接DF、AF. C 参照上面解法给分.
15.（2013.海淀二模24）解:(1) ∵BD平分?ABC，
∴?1??2． ∵AD∥BC， ∴?2??3．
∴?1??3．---------------1分 ∴AB?AD． ∵AB?AC，
∴AC?AD．---------------2分 （2）①证明：过A作AH?BC于点H．
∴?AHB?90?．
∵AB?AC，?ABC??， ∴?ACB??ABC??． ∴?BAC?180??2?． 由（1）得AB?AC=AD．
∴点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上．
∴?BDC?12?BAC． ∴?GDE??BDC?90???.----------3分
∵?G=?=???ABC， ∴?G??GDE?90?． ∴?DEG??AHB?90?．
∴△DEG∽△AHB．------------------4分 ∵GD?2AD，AB?AD，
∴S?DEGGD2S?BA=4． ?AHB2∵AD∥BC，
ABD第24题图F
∴S?BCD?S?ABC?2S?AHB．
∴S?DEG?2S?BCD．----------------------5分 ②
S?DEG2=k． -------------------------7分 S?BCD