北京体育大学附中2014版《创新设计》高考数学一轮复习单元突破：计数原理 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．函数
A．
f(x)?exsinx的图象在点(3,f(3))处的切线的倾斜角为( )
? 2B．0
C．钝角 D．锐角
【答案】C
2．如果说某物体作直线运动的时间与距离满足s(t)?2?1?t?，则其在t?1.2时的瞬时速度为( )
A．4 【答案】D 3．函数
B．?4
C．4.8
D．0.8
2y?1x?xe?e?的导数是( ) ?2B．
A．
1x?x?e?e? 21x?x?e?e? 2C．ex?e?x
D．ex?e?x[来源:Z.xx.k.Com]
【答案】A 4．若曲线
f（x）?x4?x在点P处的切线平行于直线3x?y?0，则点P的坐标为( )
B． (1，5）
C．（1， ?3）
D． (?1，2）
A．（1，0） 【答案】A
5．设f(x)为可导函数，且满足limf(1)?f(1?2x)??1，则过曲线y?f(x)上点(1,f(1))处的切线斜率为
x?02x( ) A．2 【答案】B 6．设曲线
B．－1
C．1
D．－2
y?xn?1 (n?N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则log2011x1?log2011x2? …
? log2011x2010的值为( )
A．?log20112010 B．?1 【答案】B
7．设球的半径为时间t的函数RA．成正比，比例系数为C C．成反比，比例系数为C 【答案】D
8．由函数y?cosx,(0?x?2?)的图象与直线x?C．log20112010?1D．1
?t?。若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径( )
B． 成正比，比例系数为2C D． 成反比，比例系数为2C
3?及y?1的图象所围成的一个封闭图形的面积( ) 2
A．4 【答案】B
B．
3??1 2C．
??1 2D．2?
9．已知f(3)=2,f′(3)=－2,则limx?32x?3f(x)的值为( )
x?3C．0
D．不存在
A．－4 【答案】B 10．曲线y?B．8
x在点?1,1?处的切线方程为( ) 2x?1A． x?y?2?0 B． x?y?2?0 C．x?4y?5?0 D． x?4y?5?0 【答案】B
11．设f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上的平均值是( )
f(a)?f(b) 2【答案】C
A．
B．
?baf(x)dx C．
1bf(x)dx ?a2D．
1bf(x)dx ?ab?a12．已知函数f (x)=3x+1，则limA．??x?01 3B．
1 3f(1??x)?f(1)的值为( )
?x2C． D．0
3第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
【答案】A
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．如图，直线
y?1与曲线y??x2?2所围图形的面积是 。
【答案】
4 314．过（0， 0）且与函数y ＝【答案】3x?y?0或y?0 15．计算
13x?2x2 的图象相切的直线方程为 3[来源:学科网]
?(2x?3)dx? ．
02【答案】10 16．若曲线y?321x?x?的某一切线与直线y?4x?3平行，则切点坐标为 ，切线方程22为 ． 【答案】(1,2)，y?4x?2
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知函数
f(x)?ex(ax2?2x?2)，a?R且a?0.
⑴ 若曲线y?f(x)在点P(2,f(2))处的切线垂直于y轴，求实数a的值； ⑵ 当a?0时，求函数f(|sinx|)的最小值. 【答案】由题意得：
f?(x)?(ex)??(ax2?2x?2)?ex?(ax2?2x?2)?
2?ex(ax2?2x?2)?ex(2ax?2)?aex(x?)(x?2)；
a(1)由曲线y?f(x)在点P(2,f(2))处的切线垂直于y轴，结合导数的几何意义得f?(2)?0，即
22a?2a?e2?(2?)(2?2)?4ae2??0，解得a?1；
aa(2) 设|sinx|?t(0≤t≤1)，则只需求当a?0时，函数y?f(t)(0≤t≤1)的最小值.
22或x??2，而a?0，即??2. aa22从而函数f(x)在(??,?2)和(,??)上单调递增，在(?2,)上单调递减.
aa2当≥1时，即0?a≤2时，函数f(x)在[0,1]上为减函数，ymin?f(1)?(a?4)e； a令f?(x)?0，解得x?22当0??1，即 a?2时，函数f(x)的极小值即为其在区间[0,1]上的最小值， ymin?f()??2ea.
aa综上可知，当0?a≤2时，函数f(|sinx|)的最小值为(a?4)e；当a?2时，函数f(|sinx|)的最小值为
2a2?2e.
18．已知函数f(x)?131x?(2a?1)x2?(a2?a)x. 32(Ⅰ）若f(x)在x?1处取得极大值，求实数a的值；
(Ⅱ）若?m?R，直线y?kx?m都不是曲线y?f(x)的切线，求k的取值范围； (Ⅲ）若a??1，求f(x)在区间［0，1］上的最大值。 【答案】（Ⅰ）因为令
f'(x)?x2?(2a?1)x?(a2?a)?(x?a)[x?(a?1)]
f'(x)?0,得x1?(a?1),x2?a，所以f'(x),f(x)随x的变化情况如下表：
所以a?1
(由f'(1)?0得出a?0，或a?1，在有单调性验证也可以（标准略）） (Ⅱ）因为f'(x)?(x?2a?121)? 24因为?m?R，直线y?kx?m都不是曲线y?f(x)的切线， 所以f'(x)?(x?2a?121)??k无实数解 24只要f'(x)的最小值大于k
1 4(Ⅲ）因为a??1，所以a?1?0，
所以k??当a?1时，f'(x)?0对x?[0,1]成立
2所以当x?1时，f(x)取得最大值f(1)?a?1 6当0?a?1时，在x?(0,a)时，f'(x)?0，f(x)单调递增 在x?(a,1)时,f'(x)?0,f(x)单调递减
1312a?a 32所以当x?a时，f(x)取得最大值f(a)?当a?0时，在x?(0,1)时，f'(x)?0，f(x)单调递减 所以当x?0，f(x)取得最大值f(0)?0
当?1?a?0时，在x?(0,a?1)时，f'(x)?0,f(x)单调递减 在x?(a?1,1)时，f'(x)?0，f(x)单调递增 又f(0)?0,f(1)?a?21， 6当?1?a?162时，f(x)在x?1取得最大值f(1)?a?
66当?6?a?0时，f(x)在x?0取得最大值f(0)?0 6
当a??6时，f(x)在x?0，x?1处都取得最大值0. 6综上所述，
当a?1或?1?a??162时，f(x)取得最大值f(1)?a?
661312a?a 32当0?a?1时，f(x)取得最大值f(a)?当a??6时，f(x)在x?0，x?1处都取得最大值0 6当?6?a?0时，f(x)在x?0取得最大值f(0)?0. 632f(x)?ax?bx的图象经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x?9y?0垂直。 19．已知函数
(1）求实数 (2）若函数
a,b的值；
f(x)在区间[m,m?1]上单调递增,求m的取值范围。
32?f(x)?ax?bx的图象经过点M(1,4), 【答案】（ 1）
?a?b?4 ①式
f?(x)?3ax2?2bx,则f?(1)?3a?2b
1f?(1)?(?)??1,即3a?2b?99由条件 ②式
由①②式解得(2）
a?1,b?3
f(x)?x3?3x2,f?(x)?3x2?6x，
2?f(x)?3x?6x?0得x?0或x??2, 令
经检验知函数
f(x)在区间[m,m?1]上单调递增,则[m,m?1]????,?2???0,???，
?m?0或m?1??2,即m?0或m??3为所求m的取值范围。
20．设函数
f(x)?x2?ax?bln(x?1)(a,b?R,且a?2)
⑴当b?1且函数f(x)在其定义域上为增函数时，求a的取值范围；