2013年上海理工大学大学物理竞赛试题
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1. 一质量为m的物体，以初速度为V0的速度竖直上抛，物体受到的阻力与速度大小成正比，方向与速度相反，比例系数为K，求：该物体能够到达的最大高度和回到出发点的速度。（本题10分） 2. 一质点沿光滑的抛物线y?2x无初速地滑下，质点初始坐标为(2，2)，求质点脱离抛物线处的坐标。（本题10分）
3. 设一动力暖气装置由一台卡诺热机和一台卡诺致冷机组合而成．热机靠燃料燃烧时释放的热量工作并向暖气系统中的水放热，同时，热机带动致冷机．致冷机自天然蓄水池中吸热，也向暖气系统放热．假定热机锅炉的温度为t1 =210 ℃，天然蓄水池中水的温度为 t2 =15 ℃，暖气系统的温度为t3＝60 ℃，热机从燃料燃烧时获得热量Q1 = 2.1×107 J，计算暖气系统所得热量。（本题10分）
4. 用热力学第二定律证明，绝热线和等温线不可能有两个交点。（本题5分） 2R 5. 如图，电流从内部开始沿第一根导线顺时针通过后，紧挨着沿第二根逆时针返回，如此由内到外往返．最后一根导线中的电流沿 (1) 逆时针方 R O 向 (2) 顺时针方向，设导线中的电流强度为I，R远大于导线的直径．求I (1)、(2)两种情况下，O点处的磁感强度B的大小与方向。（本题10分）
6. 一底面半径为R的圆锥体，锥面上均匀带电，电荷面密度为σ，设无穷远处为零电势点，试求锥顶点O处的电势值。（本题10分）
7. 如图所示，半径为R的均匀带电球面，带有电荷q．沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为，长度为l，细线左端离球心距离为r0．设 q R 球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面 ?? O 电荷的电场力和细线在该电场中的电势能(设无穷远处的电
势为零)。（本题10分）
l r0
8. 已知粒子1和粒子2质量都为m0，粒子1静止，粒子2以速度v0与粒子1发生弹性碰撞，（1）若碰撞是斜碰，考虑相对论效应，试论证两粒子碰撞之后速度方向的夹角是锐角、直角还是钝角，如果不考虑相对论效应结果又如何？（2）若碰撞是正碰，考虑相对论效应，试求碰撞后两粒子的速度。（本题10分）
2? 1
9. 如图(a)所示，长为L的均匀杆，质量为m，静止在水平面上，可绕通过左端O的竖直光滑轴转动。一质量为m0＝m/3的小球以速度v0在水平面上垂直击杆于P点，并以速度v＝v0/3反弹回。设OP＝3L/4，杆与水平面间的摩擦系数为μ。求：(1)杆开始转动时的角速度；(2)杆受摩擦力矩的大小； (3)从杆开始转动到静止的过程中摩擦力矩做的功；(4)杆从开始转动到静止所转过的角度和经历的时间。（本题15分）
10. 如题所示，一质量为m半径为R的由绝缘材料制成的
薄球壳，均匀带正电，电荷量为Q，球壳下面有与球壳固连的底座，底座静止在光滑的水平面上，球壳内部有一劲度系数为k的轻弹簧（质量不计），弹簧始终处于水平位置，其一端与球壳内壁固连，另一端恰位于球心处，球壳上有一小孔C，小孔位于过球心的水平线上，在此水平线上离球壳很远的O处有一质量为m的电荷量也为Q的带正电的点电荷P，它以足够大的初速度V0沿水平的OC方向开始运动，并知P能通过小孔C进入球壳内，不考虑重力和底座的影响，求P刚进入C孔到刚再由C孔出来经历的时间。（本题20分）
11. 设空间存在三个相互垂直的已知场：电场强度为E的匀强电场，磁感应强度为B的匀强磁场和重力加速度为g的重力场。一质量为m、电荷量为q的带正电的质点在此空间运动，已知在运动过程中，质点速度的大小恒定不变。
(i)试通过论证，说明此质点作何种运动（不必求出运动的轨迹方程）。
(ii)若在某一时刻，电场和磁场突然全部消失，已知此后该质点在运动过程中的最小动能为其初始动能（即电场和磁场刚要消失时的动能）的一半，试求在电场、磁场刚要消失时刻该质点的速度在三个场方向的分量。（本题10分）
2
部分解答
5 解∶设半圆形导线来回往返共N次，因为第一根是顺时针的，若最后一根逆时针，则有N／2根逆时针，N／2根顺时针．若最后一根顺时针，则有(N－1)／2根逆时针，(N＋1)／2根顺时针．
(1) 外一根为逆时针的情况，r→r + dr内单说逆时针或单说顺时针的电流为
Ndr 2R?dI?0INdr它们在O点产生的磁场 dB?0 2分 ?4r8Rr2R?R/N2R?IN2R?R/N?0IN2R∴ B??dB??dB ?0 ln?ln8RR8RR?R/NRR?R/N dI?I?IN11?1/N11)?ln]?0[ln(1?)?ln(1?)] 3分
8R2N28R2NN12∵ ln(1?x)?x?x?…
211111∴ ln(1? )?ln(1?)]????2NN2NN2N?I∴ B?0 1分
16R ??0IN[ln2(1?方向? 1分 (2) 最外一根为顺时针的情况，
2R2R?R/N B??dB?RR?R/N?dB??0IN8R(ln2?ln2R?R/N)
R?R/N ?11)?ln(1?)] 3分
8RN2N?IN13?I1(?)?0 1分 ?08RN2N16R[ln(1?方向? 1分
?0IN
以顶点O作坐标原点，圆锥轴线为z轴，向下为正．在任意位置z处取高为dz的小圆环，其面积为
dS?2?rdztg??2?zdz 3分 cos?co?s 3
其上电荷
dq??dS?2??tg?zdz c?os
它在O点产生的电势为
dq??tg?dz 4分
4??0z2?0cos?h??Rtg??dz?总电势 U??dU? 3分设x
02?02?0轴沿细线方向，原点在球心处，在x处取线元dx，其上电荷为dq???dx，该线元在带
dU?电球面的电场中所受电场力为：
dF = q?dx / (4??0 x2) 3分
整个细线所受电场力为： d x O R r0 x r+l x q? F?4??0?r0?lr0dxq?l? 2分 x24??0r0?r0?l?0
方向沿x正方向．
电荷元在球面电荷电场中具有电势能：
dW = (q?dx) / (4??0 x) 3分
整个线电荷在电场中具有电势能：
W?q?4??0?r0?lr0dxq??r0?l?? 2分 ?ln???x4??0?r0?假设碰撞后球1和球2的速度方向之间的夹角为?（见图），
则由能量守恒和动量守恒可得
m0c2?m0c2?0?m0c2?1?m0c2?2 （1）
?m0v0?0?其中?0?2??m0v1?1???m0v2?2??2?m0v1?1??m0v2?2?cos?22
（2）
11?v/c202，?1?11?v/c212，?2?11?v/c222．
由（1）、（2）式得
1??0??1??2 （3）
2?02?1??12??2?2(v1v2/c2)?1?2cos? （4）
由（3）、（4）式得
22?0?1?(?12??2)2(?1?1)(?2?1)2cos??c?c?0 （5）
2v1v2?1?2v1v2?1?2??π （6） 2即为锐角．
在非相对论情况下，根据能量守恒和动量守恒可得
4
11122 （7） m0v0?m0v2?m0v21222?m0v0?2??m0v1???m0v2??2?m0v1??m0v2?cos?22
（8）
对斜碰，v1的方向与v2的方向不同，要同时满足（1）和（2）式，则两者方向的夹角
??π （9） 2即为直角．
2．根据能量守恒和动量守恒可得
m0c?2m0c21?vc202?m0c21?vc212?m0c21?vc222 （10）
m0v01?vc令?0?则有：
202?m0v11?vc212?m0v21?vc222 （11）
11?v/c202，?1?11?v/c212，?2?11?v/c222 222v0?c1?1/?0，v1?c1?1/?1，v2?c1?1/?2
代入（10）、（11）式得
1??0??1??2
（12）
（13）
2?02?1??12?1??2?1
解（12）、（13）两式得
?1?1 ?2??0 （14）
或
?1??0 ?2?1即
（15）
v1?0 ， v2?v0
（16）
（或v1?v0，v2?0，不合题意）
9. 解 (1)设球与杆碰撞时的相互作用力为F和F′，如图(b)所示；碰撞后杆的角速度为ω0，则对球应用动量定理，有
∫Fdt＝m0v－(－m0v0) (1)
3L
对杆应用角动量定理，碰撞瞬间忽略杆与水平面的摩擦力矩(因为M摩<<4F′)，则有
5