实验三：连续和离散系统的复频域分析
一：实验目的
1．掌握连续时间函数的拉普拉斯正变换及反变换 2．掌握离散时间函数的Z变换和Z反变换 3. 掌握连续系统复频域分析 4 掌握离散系统复频域分析
二：实验原理
1 拉氏变换的正变换和逆变换
（1）定义：信号f(t)进行拉普拉斯变换及反变换的公式如下
?F(s)????1??j?F(s)estds f(t)edt f(t)??2?j??j??st其中F(s)可以表示为有理分式F(s)?(s?z1)(s?z2)(s?zm)B(s)或零极点相乘F(s)?k形A(s)(s?p1)(s?p2)(s?pn)式 A(s)和B(s)都是s的多项式，z1,?zm是F(s)的零点，p1,?pn是F(s)的极点，k为F(s)的增益。
（2）拉氏变换的函数调用
正变换： Fs = laplace(f); 逆变换 f = ilaplace(Fs)
2 Z变换的正变换和逆变换
（1）定义：正变换： F(z)??f(n)z?n 反变换：f(n)?n?0?12?j?cF(z)zn?1dz
其中F(z)可以表示为有理分式F(z)?(z?z1)(z?z2)(z?zm)B(z)或零极点相乘F(z)?k形A(z)(z?p1)(z?p2)(z?pn)式 A(z)和B(z)都是z的多项式，z1,?zm是F(z)的零点，p1,?pn是F(z)的极点，k为F(z)的增益。
(2) Z变换的函数调用
正变换： F = ztrans(f) f?f(n)?F?F(z) 逆变换 f = iztrans (F) F?F(z)?f?f(n)
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三：实验内容
1 拉普拉斯正变换和逆变换
（1）分别求f(t)?1，f(t)?tu(t?2)，f(t)?1?e?atu(t)的拉氏变换，写出拉氏变化结果 %% 直流信号1的拉氏变换
f = sym(1); % creates a symbolic expression for 1 Fs = laplace(f) Fs=simplify(Fs)
%% f(t)=tu(t-2)
syms f t Fs
f=t*heaviside(t-2); Fs = laplace(f); simplify(Fs)
%% 信号f(t)=1-exp(-at)的拉氏变换
syms Fs f a t f = 1-exp(-a*t); Fs = laplace(f); Fs=simplify(Fs)
e?s10(s?2)(s?5)（2）分别求F(s)?，F(s)?2的反变换f(t)
s(s?1)(s?3)s?5s?6%% 求F(S)=10(s+2)(s+5)/s(s+1)(s+3)的拉氏反变换f(t)
syms Fs f s
Fs =10*(s+2)*(s+5)/(s*(s+1)*(s+3)); f = ilaplace(Fs); Fs=simplify(Fs)
%% F(s)=2*exp(-s)/(s^2+5s+6)
syms Fs f s
Fs=exp(-s)/(s^2+5*s+6); f = ilaplace(Fs); Fs=simplify(Fs)
2 离散信号的Z域正变换和逆变换
??(1) 分别求f(n)?(a)nu(n), f(n)?1，f(n)?2?(n?1)?3?(n?2)，f1(n)??anu(?n?1)的
Z变换，并标清清楚ROC %% 信号f(t)=a^n的Z变换
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syms Fz f n a=1/3; f = a^n;
Fz = ztrans(f); simplify(Fz) %% 直流信号1的Z变换
f = sym(1); % creates a symbolic expression for 1 Fz = ztrans(f) %% f(n)?2?(n?1)?3?(n?2)的Z变换
Syms f n Fz
F=2*dirac(n-1)+3*dirac(n-2); Fz = ztrans(f); simplify(Fz)
z2z2(Z?2)时Z反变换x(n) （2）分别求X(z)?2（z?1）和X(z)?2z?1.5z?0.5z?3z?2%% 求F(z)=z^2/(z^2-1.5z+0.5)的Z反变换f(n)
syms Fz f z
Fz=z^2/(z^2-1.5*z+0.5); f = iztrans(Fz); simplify(Fz)
%% 求F(z)=z^2/(z^2-3z+2)的Z反变换f(n)
Fz=z^2/(z^2-3*z+2); f = iztrans(Fz); simplify(Fz)
3 连续系统和离散系统的系统函数
（1）将微分方程转化为系统函数H(s)（或H(jw)），并求冲激响应h(t)和阶跃响应g(t)
d2r(t)dr(t)de(t)?5?6r(t)?dt2dtdt零初始状态?H(s)?R(s)s?2 E(s)s?5s?6%% 阶跃响应和冲激响应
syms Hs Ht t s Hs=s/(s^2+5*s+6); Ht=ilaplace(Hs); Gt=int(Ht,t,0,t)
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Ht=simplify(Ht) Gt=simplify(Gt)
subplot(211);ezplot(Ht) subplot(212);ezplot(Gt)
零初始状态d2r(t)dr(t)de(t)R(s)s?2??4?3r(t)??2e(t)H(s)??同理求： 22E(s)s?4s?3dtdtdt(2) 差分方程和系统函数H(z)之间的转换
y(n?2)?3y(n?1)?2y(n)?x(n?1)零初始状态?H(z)?Y(z)z?2 X(z)z?3z?2%% 离散系统 y(n+2)-3y(n+1)+2y(n)=x(n+1) 阶跃响应和冲激响应
syms Hz Hn n z Gn Hz=z/(z^2-3*z+2); Hn=iztrans (Hz); Gn=int(Hn,n,0,n) Hn=simplify(Hn) Gn=simplify(Gn)
subplot(211);ezplot(Hn) subplot(212);ezplot(Gn) 同理求下列差分方程的h(t)和g(t)
y(n?2)?5y(n?1)?6y(n)?x(n?2)零初始状态零初始状态?Y(z)z2H(z)??2X(z)z?5z?6y(n?1)?2y(n)?x(n)?H(z)?Y(z)1?x(n)?2nu(n) X(z)z?2零初始状态y(n)?0.9y(n?1)?0.1y(n?2)?0.05x(n)?H(z)?Y(z)0.05? X(z)1?0.9z?1?0.1z?23 零输入响应、零状态响应和全响应
在MATLAB中,已知差分方程的系数,输入,初始条件,调用filter()函数解差分方程.
调用filter()函数的格式为:y=filtier(b,a,x,xic),参数x为输入向量(序列),b,a分别为差分方程系数,xic是等效初始状态输入数组(序列).
确定等效初始状态输入数组xic(n),可使用Signal Processing toolbox中的filtic()函数,调用格式为:y=filtic(b,a,y,x) .其中y=[y(-1),y(-2),?,y(-N)],x=[x(-1),x(-2),?,x(-M)] .
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（1）已知差分方程y(n?2)?3y(n?1)?2y(n)?x(n) ,式中 x(n)=0.2nu(n) ,y(0)=2 ,y(1)=1 ,分别求零状态响应，零输入响应和全响应y，分析该系统的稳定性。 %% 零输入响应
den =[1 3 2];%分母多项式系数 num =[1];%分子多项式系数 n=0:5;n1=length(n); y01=[ 2 1];%初始条件 x01=[ 0 0]; x1=zeros(1,n1);
xzi=filtic(num,den,y01,x01) yzi=filter(num,den,x1,xzi) %% 零状态响应
y02=[ 0 0]; x02=[ 0 0];
x2=(0.2).^n;%外加激励
xzs=filtic(num,den,y02,x02) yzs=filter(num,den,x2,xzs); %% 全响应
y0=[ 2 1];%%初始条件 x0=[ 0 0];
x=(2).^n;%外加激励
xz=filtic(num,den,y0,x0)
y=filter(num,den,x,xz);%直接将差分方程Z变换后代入X(z)求出Y(z),反变换求出x(n). %% 画图输出零状态响应，零输入响应和全响应
subplot(311); stem(n,yzi);title('零输入响应');xlabel('序列n');ylabel('yzi(n)') subplot(312); stem(n,yzs);title('零状态响应');xlabel('序列n');ylabel('yzs(n)') subplot(313); stem(n,y);title('全响应');xlabel('序列n');ylabel('y(n)')
（2）已知e(t)?3u(t)，H(s)?状态响应rzs(t)。 %% 零输入响应
num=[1 0 ]; den=[1 5 6 ]; sys=tf(num,den);
R(s)s?2,初始状态y(0)=1 y’(0)=1;求系统零E(s)s?5s?620
t=0:0.01:3; sys1=ss(sys); y=[1 1 ];
u=zeros(1,length(t)); rzi=lsim(sys1,u,t,y);%
subplot(311);plot(t,rzi);title('零输入响应yzi(t)');ylabel('rzi(t)') %% 零状态响应
syms s f
f=ilaplace(3/((s+2)*(s+3)));t=0:0.01:3; rzs=3*exp(-2*t)-3*exp(-3*t); subplot(312);plot(t,rzs)
title('零状态响应');ylabel('rzs(t)') %% 全响应=零状态响应+零输入响应
r=rzi+rzs';
subplot(313);plot(t,r);
title('全响应');ylabel('r(t)');xlabel('时间（秒）');ylabel('r(t)')
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