2013届高三数学高考仿真试卷37
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟，请将你所做各题答案写在试卷后面的答题卡上
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么 棱柱的体积公式 P?A?B??P?A??P?B? V?Sh
如果事件A，B相互独立，那么 其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高 P?A?B??P?A??P?B? 棱锥的体积公式
1如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么 V?Sh
3n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高
kkPn?k??Cnp?1?k?n?k,?k?0,1,2,?,n? 棱台的体积公式
1球的表面积公式 S?4?R2 V?hS1?S1S2?S2
34球的体积公式 V??R3 其中S1,S2分别表示棱台的上底、下底面积，
3 其中R表示球的半径 h表示棱台的高
??
第I卷(选择题 共40分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。 1．已知全集U=R，集合A?{x|y?lg(x2?1)},则CUA=
A．(??,1)
B．[-1，1]
C
．
(1,??)D．(??,?1]?[1,??)
2．对于空间任意直线l和平面α，下列命题中成立的是 A．平面α内一定存在直线与直线l平行 B．平面α内一定存在直线与直线l垂直 C．平面α内一定没有直线与直线l平行 D．平面α内可能没有直线与直线l垂直
?x?0?3．设不等式组?y?0表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐
??x?y?2标原点的距离大于1的概率是
A．
? 4B．
2 ??2C．
4?? 4D．
??22
4．若复数z?(5sin??3)?(5cos??4)i是纯虚数，则tan?的值为
A．
4 3B．?3 4C．
3 4D．?或343 45．在如图的程序框图中，若输出的结果为60，则在图中空白处应填上
A．a?3
B．a?4
C．a?4
D．a?3
6．已知{an}为等比数列,a3a5??8,a4?a7?2,则a1?a10?
A．7
B．5
C．—5
D．—7
7．设函数y?sinx(0?x??)的图象为曲线C，动点A(x,y)在曲线C上，过A且平行于
x轴的直线交曲线C于另一点B(A,B可以重合)，设线段AB的长为y?f(x)的图象可以为
8．已知正数a,b,c满足5c?3a?b?4c?a,clnb?a?clnc,则
A．[,e]
17B．[e,]
72C．[e,7]
b的取值范围是 a11D．[,]
7e
第Ⅱ卷（非选择题，共110分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
x2y2??1的焦点到其渐近线的距离为 。 9．双曲线
91610．不等式ax?bx?2?0的解集是(-,)，则a的值是 。 11．(2x?)的展开式中的常数项的值为 。
12．直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=23,BC=2，CD为斜边AB边上的高，
将三角形ACD沿CD折起与面BCD成60°的二面角，则翻折后线段AB的长为 。 13．直线2ax?by?1与圆x2?y2?1相交于A，B两点（其中a，b是实数），且△AOB
211231x4是直角三角形（O是坐标原点），则点P(a,b)与点(0,5?2)之间距离的最大值为 。
????????14．已知△ABC为等腰直角三角形，∠A=90°，且AB?a?b,AC?a?b,若
a?(sin?,cos?)(??R)，则△ABC的面积为 。
15．我们称正整数n为“好数”，如果n的二进制表示中1的个数多于0的个数。如6=（110）：
为好数，1 984=（11 111 000 000）；不为好数，则： （1）二进制表示中恰有5位数码的好数共有 个； （2）不超过2012的好数共有 个。
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分）
师大附中高二某课题小组对长沙市工薪阶层对“楼市限购令”的态度进行调查，抽调了
50人，他们月收入频数分布表及对“楼市限购令”赞成人数如下表：
（1）完成如图的月收入频率分布直方图，并估计被抽调人的月平均收入 ；
（2）若从月收入（单位：百元）在[15,25),[25,35)的被调查人中各随机选取两人进行
追踪调查，记选中的4人中不赞成：“楼市限购令”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望。
17．（本小题满分12分）
已知四棱锥A—BCPM的三视图如图，其中正视图是梯形，侧视图 是直角三角形。
（1）求异面直线AM与直线PC所成角的大小；
（2）求三棱锥P—MAC的体积。
18．（本小题满分12分）
已知一
非
n零
?n的向量
n列
{an满足}1?a:?1a(211?xn?,y11??
)1x?,?n1y(n?x （1）计算|a1|,|a2|,|a3|；证明：数列{|an|}是等比数列； （
2
）
设
?n(n?2)是an?1,an的夹角的弧度数，
bn??4n(n?1)?n,Sn?b2?b3???bn,求S2013.
19．（本小题满分13分）
如图，实线部分是某公园设计的游客观光路线平面图，曲线部分是以AB为直径的
半圆，点O为圆心，△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形，其中AB=2千米，
?EOA??FOB?2x(0?x??4).若游客在每条路线上游览的“心悦效果”均与相应
的线段或弧的长度成正比，且中间路线DE，DF，EF的比例系数为2k，两边路线DA，DB，AE，BF的比例系数为k（k>0），假定该公园整体的“心悦效果”y是游客游览所有
路线“心悦准备果”的和。 （1）试将y表示为x的函数；
（2）试确定当x取何值时，该公园整体的“心悦效果”最佳？
20．（本小题满分13分）
x2y2 给定椭圆C:2?2?1(a?b?0)，称圆心在原点O，半径为a2?b2的圆是ab椭圆C的“准圆”，若椭圆C的一个焦点为F(2,0)，其短轴上的一个端点到F的距离为3.
（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；
（2）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C
都只有一个交点， 讨论直线l1与l2的位置关系。
21．（本小题满分13分）
已知函数f(x)?13x?2ax3?ax?b(a?0),A?{x?R|f?(x)?0}, 3B?{a|a2??a?2,且x1,x2?A}.
(1?x1)(1?x2)(1?4a?x1)(1?4a?x2)11?； xx （1）求集合B；
（2）若x?B,且x?Z,求证:tan （3）比较sin
12012与12013的大小，并说明理由。