直角三角形与勾股定理
一、选择题
1.（2013贵州安顺，6，3分）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 【答案】：B．
【解析】如图，设大树高为AB=10m，小树高为CD=4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，
∴EB=4m，EC=8m，AE=AB－EB=10－4=6m， 在Rt△AEC中，AC=
=10m．
【方法指导】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
2．[2013山东菏泽，7，3分]如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方
形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（ ）
S1 S2
【答案】B．
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A．16 B．17 C．18 D．19
【解析】根据等腰直角三角形、勾股定理先求出面积分别为S1的边唱是大正方形对角线的
1，S2正方形的边长组成直角三角形斜边长是大正方形对角线的一半. 3满分解答：边长为6的大正方形中，对角线长为6?6?62. ∴面积为S1小正方边长为62?2212=8；小正方S2= ?22，面积S1=（22）3121（62?）??9，∴S1+S2=8+9=17.故选B.
22【方法指导】本题主要考查正方形性质.熟悉正方形有关性质是解题的关键.
3.（2013四川泸州，12，2分）如图，在等腰直角?ABC中，?ACB?90，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且?DOE?90，DE交OC于点P．则下列结论：
（1）图形中全等的三角形只有两对；
（2）?ABC的面积等于四边形CDOE面积的2倍； （3）CD?CE?22??2OA；
（4）AD?BE?2OP?OC．其中正确的结论有（ ）
CEDAPO第12题图B
A． 1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C
【解析】结论（1）错误，结论（2）（3）（4）正确．
【方法指导】本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形和勾股定理等重要几何知识点．难点在于结论（4）的判断，其中对于“OP?OC”线段乘积的形式，可以寻求相似三角形解决问题.
4．（2013年佛山市， 7，3分）如图，若∠A=60°，AC=20m，则BC大约是(结果精确到0.1m)( )
A．34.64m B．34.6m C．28.3m D．17.3m
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B
A 第7题图
C
分析：首先计算出∠B的度数，再根据直角三角形的性质可得AB=40m，再利用勾股定理计算出BC长即可
解：∵∠A=60°，∠C=90°，∴∠B=30°，∴AB=2AC，∵AC=20m，∴AB=40m， ∴BC=
=
=
=20
≈34.6（m），故选：B．
点评：此题主要考查了勾股定理，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方
5．（2013贵州安顺，6，3分）如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 考点：勾股定理的应用． 专题：应用题．
分析：根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 解答：解：如图，设大树高为AB=10m， 小树高为CD=4m，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形， 连接AC，
∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m， 在Rt△AEC中，AC=故选B．
=10m，
点评：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
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6. （2013江苏南京，3，2分） 设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法：? a是无理数；? a可以用数轴上的一个点来表示；? 3
的算术平方根。其中，所有正确说法的序号是 (A) ?? (B) ?? (C) ??? (D) ???
答案：C
解析：由勾股定理，得：。，所以，③错误，其它都正确。
二、填空题
1. （2013江苏扬州，17，3分）矩形的两邻边长的差为2，对角线长为4，则矩形的面积为 ． 【答案】6．
【解析】分析：设矩形一条边长为x，则另一条边长为x－2，然后根据勾股定理列出方程式求出x的值，继而可求出矩形的面积．
解：设矩形一条边长为x，则另一条边长为x－2． 由勾股定理得，x2＋(x－2)2=42． 整理得，x2－2x－6=0．
解得：x=1＋7或x=1－7（不合题意，舍去）．
另一边为：7－1．则矩形的面积为：（1＋7）（7－1）=6．所以应填6．
【方法指导】本题考查了勾股定理及矩形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据勾股定理列出等式求处矩形的边长，要求同学们掌握矩形面积的求法． 【易错警示】解题时，用勾股定理可能出错，解一元二次方程可能出错．
2．（2013山东滨州，14，4分）在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为______________． 【答案】：x=26．
【解析】利用勾股定理，可得AC?AB2?BC2?72?52?26
【方法指导】本题主要考查了勾股定理的运用，按照题设画出图形，确定斜边和直角边再计算即可.
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3．(2013湖北荆门，15，3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC＝6，sinA＝3，则DE＝______．
5B
D C E A
(第15题)
【答案】15．
4【解析】∵AB＝BC＝10，∴AC＝102?62＝8．∵D是AB的中点，∴AD＝1AB＝
sinA25．∵∠ADE＝∠C＝90°，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB．∴DE＝AD．∴DE＝5．即
BCAC68DE＝15．
4【方法指导】本题另一解法是利用勾股定理，即连结BE，则BE＝AE．在Rt△BCE中用勾股定理求出BE的长，然后在Rt△BDE中用勾股定理求出DE的长．
4．（2013山东德州，17，4分）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的
顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF②∠AEB＝750③BE+DF＝EF④S正方形ABCD＝2+3，其中正确的序号是 。（把你认为正确的都填上）
【答案】①②④.
【解析】∵在正方形ABCD与等边三角形AEF中，∴AB=BC=CD=DA，AE=EF=AF， ∴△ABE≌△ADF，∴DF=BE，有DC-DF=BC-BE，即 CE＝CF，①正确；∵CE=CF，∠C=90°，∴∠FEC=45°，而∠AEF=60°，∴∠AEB＝180°-60°-45°=75°，②正确；根据分析BE+DF≠EF，③不正确；在等腰直角三角形CEF中，CE=CF=EF·sin45°=2.在Rt△ADF中，设AD=x，
222（x?2）?2，解得，x1=则DF=x-2，根据勾股定理可得，x?2?6， 2 - 5 -